Gammafunktion

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Graph der Gammafunktion im Reellen
Komplexe Gammafunktion: Die Helligkeit entspricht dem Betrag, die Farbe dem Argument des Funktionswerts. Zusätzlich sind Höhenlinien konstanten Betrags eingezeichnet.
Betrag der komplexen Gammafunktion

Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein , den griechischen Großbuchstaben Gamma, bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft

für jede natürliche Zahl , wobei mit die Fakultät bezeichnet wird. Die Motivation zur Definition der Gammafunktion war, die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Argumente erweitern zu können. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler löste im Jahr 1729 diese Fragestellung und definierte die Gammafunktion mittels eines unendlichen Produktes. Heute wird die Gammafunktion oft mittels einer Integraldarstellung definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht.

Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde.

Einordnung ohne mathematisches Vorwissen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine mathematische Funktion ist im Grunde wie eine Rechenmaschine. Man gibt einen Wert in die Funktion ein, und diese liefert dann ein Ergebnis in Abhängigkeit vom Eingabewert, zumindest theoretisch. Damit ist gemeint, dass die Funktion an sich nicht rechnet, sondern meist nur eine Rechenvorschrift formelhaft festhält. Einfaches Beispiel für eine Funktion ist die quadratische Funktion, welche die Eingabe mit sich selbst multipliziert. Formelhaft schreibt man dies als . Somit ordnet die quadratische Funktion beispielsweise der Zahl den Wert zu. Rechnet man dies aus, ergibt sich , also .

Die Gammafunktion fußt auf einer Vorschrift, die auch als Fakultät bekannt ist. Diese ordnet einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen bis zu dieser Zahl zu. Bezeichnet wird die Fakultät mit dem Symbol des Ausrufezeichens. Also gilt zum Beispiel

Es galt innerhalb der Mathematik als Problem, ob sich diese Vorschrift auch auf Zahlen anderer Art erweitern ließe. Konkret bedeutet das:

  • Lassen sich Fakultäten auch für beliebige rationale, reelle, komplexe Zahlen berechnen? Wie in etwa könnte man sich vorstellen?
  • Falls solche „universelle“ Vorschriften gefunden werden, welche mathematischen Eigenschaften können ihnen gegeben werden? Zeichnet sich eine dieser Vorschriften als ganz besonders natürlich und strukturell aus? Ist diese besondere Vorschrift eindeutig bestimmt, also „die eine“ verallgemeinerte Fakultät?

Die Antwort auf diese Fragen liefert die Gammafunktion. Für beliebige Werte liefert , also gilt zum Beispiel Die Verschiebung um 1 von der oben erwähnten Fakultät ist auf eine Konvention aus dem 19. Jahrhundert zurückzuführen. Die Strategie der Verallgemeinerung basiert auf der Beobachtung, dass aus einer vorherigen Fakultät durch Hinzunahme eines weiteren Faktors eine weitere Fakultät gewonnen wird. So gilt etwa und ganz allgemein . Demnach sollten sämtliche Werte der Gammafunktion mittels in Relation stehen. Stellt man weitere wichtige Bedingungen, wie Differenzierbarkeit, an , so kann diese schließlich eindeutig definiert werden, womit „die“ verallgemeinerte Fakultät gefunden ist.

Es gilt dann mit der Kreiszahl . Dieser Zusammenhang lässt sich über die Normalverteilung von Gauß erklären.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als früheste Definition der Gammafunktion gilt die in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729 gegebene:[1][2]

für unendlich große , entsprechend heutiger Notation oder . Wenige Tage später, am 13. Oktoberjul. / 24. Oktober 1729greg., beschrieb Euler ebenfalls in einem Brief an Goldbach die ähnliche, etwas einfachere Formel[3]

die Gauß 1812 für den allgemeineren Fall komplexer Zahlen wiederentdeckte[4] (die genannten Briefe wurden erst 1843 herausgegeben). Sie nähert sich mit wachsendem dem wahren Wert für oder . Am 8. Januar 1730 beschrieb Euler in einem Brief an Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion,[5] das er am 28. November 1729 der St. Petersburger Akademie vorgestellt hatte:[6]

    in heutiger Notation:    

Diese Definition wurde von Euler später bevorzugt verwendet[7] und geht durch die Substitution in die Form

über. Euler entdeckte dieses Integral bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Teilchens betrachtet wird.

Adrien-Marie Legendre führte 1809 die griechische Majuskel (Gamma) als Funktionssymbol ein.[8][9] Gauß verwendete 1812 das Funktionssymbol (Pi) so, dass und somit auch für nichtnegative ganzzahlige gilt. Es setzte sich jedoch nicht durch; heute wird als Symbol für ein Produkt benutzt (analog zu für eine Summe).

Definition und elementare Darstellungsformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt in der Literatur keine einheitliche Definition für die Gammafunktion.

Häufig wird das Eulersche Integral zweiter Gattung gegeben. Ein Nachteil ist, dass dieses Integral nicht überall konvergiert. Somit ist eine globale Berechnung mittels dieser Definition nur indirekt möglich. Für komplexe Zahlen mit positivem Realteil ist die Gammafunktion damit das uneigentliche Integral

Die dadurch definierte Funktion ist holomorph, da das Integral (wegen des schnellen Abfallens der Exponentialfunktion) auf kompakten Mengen gleichmäßig konvergiert. Dies ermöglicht den Einsatz des Weierstraßschen Konvergenzsatzes. Mittels meromorpher Fortsetzung lässt sich schließlich für alle Werte berechnen.

Eine andere Darstellung mittels eines Produktes motiviert die Verallgemeinerung der Fakultät auf direkte Weise. Sie ist gegeben durch:

In seinem Buch Number Theory. Analytic and modern tools gibt Henri Cohen eine Definition mittels der Hurwitzschen Zeta-Funktion . Als Begründung hierfür wird eine „einfache Möglichkeit der Verallgemeinerung“ und die „Betonung wichtiger Formeln“ angegeben. Es gilt demnach für komplexe Zahlen mit positivem Realteil

wobei die Ableitung bezüglich der ersten Variablen gebildet ist.

Globale Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionalgleichung und Meromorphie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gammafunktion erfüllt in ihrem Definitionsbereich für alle die Funktionalgleichung

Mittels dieser Relation ist eine induktive Fortsetzung (beispielsweise des Eulerschen Integrals) möglich. Es gilt für alle

Nullstellen und Polstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der vorherigen Darstellung kann gefolgert werden, dass zu einer auf meromorphen Funktion fortgesetzt werden kann, die Pole an den Stellen besitzt. Alle Pole sind einfach und besitzen das Residuum

,

hierbei ist . Nullstellen besitzt keine. Das macht zu einer ganzen Funktion mit ausschließlich einfachen Nullstellen.

Der Satz von Hölder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Hölder (Otto Hölder 1886)[10] ist ein Negativresultat und besagt, dass die Gammafunktion keine algebraische Differentialgleichung erfüllt, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Das heißt, es gibt keine Differentialgleichung der Form mit einer nichtnegativen ganzen Zahl und einem Polynom in , dessen Koeffizienten rationale Funktionen von sind, und der Lösung .[11]

Axiomatische Charakterisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fortsetzung der Fakultät[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bedingungen und , die die Fakultät für natürliche Zahlen eindeutig beschreiben, werden auch von anderen analytischen Funktionen als der Gammafunktion erfüllt. Für positive erfüllt beispielsweise die Funktion

für die charakteristischen Bedingungen der Gammafunktion. Weierstraß fügte 1854 daher die notwendige und hinreichende Bedingung

hinzu,[12][13] womit aber die Suche nach einer möglichst elementaren oder natürlichen charakterisierenden Eigenschaft nicht beendet war.[14] Emil Artin diskutierte 1931 die mögliche Kennzeichnung durch Funktionalgleichungen.[15]

Der Satz von Bohr-Mollerup[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Bohr-Mollerup (Harald Bohr und Johannes Mollerup 1922)[16][17] erlaubt eine einfache Charakterisierung der Gammafunktion:

Eine Funktion ist in diesem Bereich genau dann gleich der Gammafunktion, wenn gilt:
  1. ist logarithmisch konvex, das heißt, ist eine konvexe Funktion.

Diese Axiome sind bei Nicolas Bourbaki der Ausgangspunkt für die Darstellung der Theorie der Gammafunktion.[18]

Der Satz von Wielandt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Wielandt über die Gammafunktion (Helmut Wielandt 1939)[19][20] charakterisiert die Gammafunktion als holomorphe Funktion und besagt:

Eine holomorphe Funktion , definiert auf einem Gebiet , das den Streifen enthält, ist genau dann gleich der Gammafunktion auf , wenn gilt:
  1. ist auf dem Streifen beschränkt, das heißt, es existiert ein , sodass für alle aus .

Genauer gilt für alle mit .

Weitere Darstellungsformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gaußsche und Weierstraßsche Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neben der Darstellung der Gammafunktion aus der Definition gibt es noch andere äquivalente Darstellungen. Eine direkte Definition von für alle gibt die Produktdarstellung der Gammafunktion nach Gauß,[21][4]

die für positive reelle Zahlen bereits von Euler 1729 angegeben wurde.[3] Daraus abgeleitet ist die Darstellung von als Weierstraß-Produkt:[22]

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten . Das zweite Produkt wird üblicherweise als Weierstraßsche Darstellung bezeichnet, Karl Weierstraß verwendete jedoch nur das erste.[23]

Eulersche Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Integraldarstellung aus der Definition geht ebenfalls auf Euler 1729 zurück,[6] sie gilt allgemeiner für komplexe Zahlen mit positivem Realteil:

    wenn    

Durch die Zerlegung dieses Integrals folgerte E. F. Prym 1876[24] eine in ganz gültige Darstellung:

Eine andere Variante der Eulerschen Integraldarstellung[25] gibt es für mit :

Aus dieser Darstellung lassen sich zum Beispiel auf elegante Weise die Fresnelschen Integralformeln ableiten.

Hankelsche Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der deutsche Mathematiker Hermann Hankel entdeckte eine Integralrepresentation für den Kehrwert[26][27] der Gammafunktion:

Dieses Integral behandelten ebenso die Mathematiker Thomas Schmelzer und Lloyd Trefethen in ihrem Aufsatz Computing the Gamma Function using contour integrals and rational approximations aus dem Jahre 2007.

Darstellung nach Whittaker und Watson[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den natürlichen Logarithmus aus der Gammafunktion existieren auch einige Integralrepresentationen für die Gammafunktion. Eine solche Integralrepresentation wurde durch die britischen Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson entdeckt:

Diese Formel kann ebenso mit Hilfe der Abel-Plana-Summenformel hergeleitet werden.

Kummersche Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ernst Eduard Kummer gab 1847 die Fourierentwicklung der logarithmischen Gammafunktion an:[28]

    für    

Sie heißt auch Kummersche Reihe. Bereits 1846 fand Carl Johan Malmstén eine ähnliche Reihe:[29][30]

    für    

Harmonische Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Harmonische Reihenfunktion ist nach Weierstraß so definiert:

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x folgt:

Diese Formel geht dann durch Darstellung der soeben gezeigten Formel mittels Stammfunktion der geometrischen Reihe und anschließenden Einsatz der Definition der Riemannschen Zetafunktion hervor:

Für die Debyeschen Funktionen gilt:

Basierend auf dieser Identität kann folgende Integralidentität für den Logarithmus Naturalis der Gammafunktion hervorgebracht werden:

Diese nun gezeigte Gleichung kommt auch durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x von folgender Formel hervor:

Die Formel mit der Euler-Mascheroni-Konstante kann auch direkt nach dem Logarithmus Naturalis aus der Gammafunktion aufgelöst werden:

Für nähere Herleitungen, bitte siehe den Artikel Euler-Mascheroni-Konstante!

Grundlegende Funktionalgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gammafunktion genügt der Funktionalgleichung

    mit    

Mit dem Ergänzungssatz der Gammafunktion (Euler 1749)[31][32]

    für    

erhält man (Folge A002161 in OEIS) sowie

    und         für    

Mit allgemeiner gewähltem wird aus der letzten Formel die Legendresche Verdopplungsformel (Legendre 1809)[33]

    für    

Diese ist ein Spezialfall der Gaußschen Multiplikationsformel (Gauß 1812)[34]

    für         und    

Gammafunktionswerte von Brüchen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Informationen über elliptische Gammafunktionswerte von Brüchen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass jede der Zahlen , , , , und transzendent und algebraisch unabhängig von ist. Sie sind nicht elementar darstellbar, aber können sehr wohl über algebraische Kombinationen von vollständigen elliptischen Integralen erster und zweiter Art dargestellt werden. Hingegen ist beispielsweise von dem Funktionswert (Folge A175380 in OEIS) nicht einmal bekannt, ob er irrational ist. Und bei diesem Wert ist eine Darstellung aus einer algebraischen Kombination von vollständigen elliptischen Integralen erster und zweiter Art und aus algebraischen Vorfaktoren als einzige Komponenten in der betroffenen Darstellung nicht möglich.[35][36] Wenn aber vollständige elliptische Integrale erster Art oder zweiter Art selbst durch eine algebraische Kombination von Gammafunktionswerten rationaler Zahlen dargestellt werden können, dann ist der elliptische Modul von den betroffenen vollständigen elliptischen Integralen komplett immer ein Lambda-Stern-Funktionswert von einer rationalen Zahl. Solche elliptischen Integrale[37] werden im deutschen Sprachraum als Singuläre Elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum als Elliptic Integral Singular Values bezeichnet.

Satz von Fubini[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den anschließenden Abschnitten dieses Artikels wird der Satz von Fubini in einer abgewandelten Form eingesetzt, die nun im Folgenden hergeleitet werden soll:

Unter Anwendung der Produktregel kann dieser Ausdruck formuliert werden:

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kann folgende Gleichungskette aufgestellt werden:

Und mit dem Satz von Fubini kann diese Gleichungskette aufgestellt werden:

Aus den beiden soeben genannten Gleichungsketten folgt diese Gleichung:

Beweise für den elementaren Wert Gamma(1/2)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der erste nun folgende Beweis für Gamma(1/2) wird über das Wallissche Produkt absolviert:

Das Wallissche Produkt lässt sich auf folgende Weise darstellen:

Folgender Bruch hat folgenden Grenzwert:

Für alle n ∈ ℕ gelten folgende Ausdrücke:

Folglich gilt diese Formel:

Die Formel wird nach Γ(3/2) aufgelöst:

Daraus folgt:

Der zweite Beweis für Gamma(1/2) wird über den Satz von Fubini mit der zuvor gezeigten Formel bewerkstelligt:

Der Funktionswert Gamma(1/2) taucht als Integral der Gaußschen Glockenkurve auf:

Die oben genannte Formel ergibt:

Daraus folgt ebenso:

Beweis für die lemniskatischen Werte Gamma(1/4) und Gamma(3/4)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der lemniskatischen Konstante gilt diese Formel:

(Folge A068466 in OEIS).

Und wegen des Ergänzungssatzes und der Legendreschen Identität gilt:

Hierbei ist K das vollständige elliptische Integral erster Ordnung:

Und E ist das vollständige elliptische Integral zweiter Ordnung:

Diese Formeln werden mit dem oben beschriebenen Integrationsmechanismus in Folgenden bewiesen:

Basierend auf der Definition der Gammafunktion gilt:

Dann gilt folgende Gleichungskette:

Hierbei gelten folgende Formeln über den Arcussinus lemniscatus:

Auch mit folgender Stammfunktion kann das gezeigte Integral nachgewiesen werden:

In Bezug auf den Eulerschen Ergänzungssatz gilt:

Aus diesen beiden Formelketten entsteht durch Zusammenfügung:

Und dies folgt darauf:

Beweis für die äquianharmonischen Werte Gamma(1/3) und Gamma(2/3)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gammafunktionswerte der Drittel können ebenso mit Hilfe elliptischer Integrale erster und zweiter Ordnung dargestellt werden:

Diese Formeln werden mit dem oben beschriebenen Integrationsmechanismus in Folgenden bewiesen:

Basierend auf der Definition der Gammafunktion gilt:

Dann gilt Folgendes:

Mit folgender Kettenregelumformung und anschließender Stammfunktion kann das gezeigte Integral nachgewiesen werden:

In Bezug auf den Eulerschen Ergänzungssatz gilt:

Aus diesen beiden Formelketten entsteht durch Zusammenfügung:

Durch Kombination dieser beiden Formeln folgt darauf:

Liste elliptischer Gammafunktionswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Generell gilt folgende Formel für alle :

Im letzten Schritt wird auf folgende Weise substituiert:

Auf diese Weise lassen sich alle Gamma-Funktionswerte von rationalen Zahlen ermitteln.

Folgende weitere Funktionswerte der Gammafunktion lassen sich mit elliptischen Integralen erster und zweiter Ordnung darstellen:

Basierend auf den weiter oben gezeigten Beweisformeln können die Werte für die Sechstel und Zwölftel mit Hilfe der Legendreschen Verdopplungsformel nachgewiesen werden. Weitere Beziehungen zwischen der Gammafunktion und den elliptischen Integralen:

Kurvendiskussion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polstellen und Residuen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gammafunktion hat an den Stellen Pole erster Ordnung. Aus der Funktionalgleichung erhält man für die Residuen

Alternativ lassen sie sich direkt an der Formel

ablesen. Da keine Nullstellen hat, ist eine ganze Funktion.

Ableitung und Digammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung der Gammafunktion stimmt mit dem Produkt aus Gammafunktion und Digammafunktion überein:

Die Digammafunktion erhalt man, wenn man die Harmonische Reihenfunktion im Koordinatensystem um Eins nach rechts und um die Euler-Mascheroni-Konstante nach unten verschiebt:

Für die Gaußsche Pifunktion beziehungsweise Fakultätsfunktion und ihren Kehrwert sind nach Weierstraß diese Definitionen gültig:

Mit diesen Definitionen kann die erste Ableitung der Gaußschen Pifunktion kenntlich gemacht werden. Die Ableitung eines unendlichen Produkts ist das Produkt aus diesem unendlichen Produkt multipliziert mit mit der unendlichen Summe aus den Quotienten der Ableitungen der Faktoren dividiert durch die Faktoren selbst:

Deswegen gilt in Kombination mit der Produktregel:

Denn die Harmonische Reihenfunktion hat diese Definition:

Somit gilt analog für die Ableitung der beiden Gaußschen Pifunktionen:

Beweisführung für einen Ableitungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Steigung der Gammafunktion an der Stelle 1 ist gleich dem Negativen der Euler-Mascheroni-Konstante :

Diese Tatsache kann so mit der von Euler gebrauchten Formel bewiesen werden:

Denn folgende Integralidentität gilt:

Die nun gezeigte Integralidentität basiert auf dieser Ableitung:

Das drittoberste Integral in der Auflistung kann so bewiesen werden:

Für die Erklärung dieser Zetafunktionsformel siehe Artikel Euler-Mascheroni-Konstante!

Alternativ hierzu kann die Ableitung an der genannten Stelle auch direkt mit der Ableitungsformel für die Gaußsche Pifunktion ermittelt werden:

Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stammfunktion der Gammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Integral der Gammafunktion selbst ist nicht als elementare Kombination von der Gammafunktion und anderen elementaren Funktionen darstellbar. Diese Tatsache wurde vom Mathematiker Otto Hölder gezeigt. Aber folgende Integraldarstellung existiert für die Stammfunktion[38] der Gammafunktion:

Als Stammfunktion der von Euler verwendeten Integralformel für die Gammafunktion geht diese Formel hervor. Denn das durch den Punkt P(0|1) verlaufende Integral einer verallgemeinerten Exponentialfunktion bezüglich des Ausdrucks im Exponenten ergibt immer das Produkt dieser Exponentialfunktion dividiert durch den Logarithmus Naturalis von der betroffenen konstanten Basis. Beispielsweise gilt:

Fransén-Robinson-Konstante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das uneigentliche Integral von Null bis Unendlich beim Kehrwert der Gammafunktion nimmt den Wert der Fransén-Robinson-Konstante an:

Diese Konstante[39] hat folgende Integralidentität bezüglich der elementaren Funktionen und Werte:

Mit dem Buchstaben e wird an dieser Stelle die Eulersche Zahl ausgedrückt.

Hyperfakultät und Superfakultät[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Logarithmus Naturalis aus der Eulerschen Gammafunktion beziehungsweise Gaußschen Pifunktion wird mit der Hyperfakultät integriert:

Das Kürzel stellt die Hyperfakultät und das Kürzel stellt die Superfakultät dar.

Auf folgende Weise ist die Superfakultät für alle reellen Werte definiert:

Sukzessiv hierzu kann die Hyperfakultät dann so definiert werden:

Für Hyperfakultät und Superfakultät gelten diese Induktionsformeln, die zur sukzessiven Ermittlung der Werte dieser Funktionen für natürlichzahlige Abszissenwerte dienen:

Für alle natürlichen Zahlen gelten somit diese Formeln:

Für Hyperfakultät und Superfakultät werden im nun Folgenden die ersten Zahlen aufgezählt:

Somit gelten diese Rechenbeispiele für die Integration vom Logarithmus Naturalis der Gammafunktion:

Zusammenhang mit der Riemannschen ζ-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bernhard Riemann brachte 1859 die Gammafunktion mit der Riemannschen ζ-Funktion über die Formel

und die folgende Feststellung in Beziehung:[40] Der Ausdruck „bleibt ungeändert, wenn in verwandelt wird“, also

Näherungsweise Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stirlingsche Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Näherungswerte der Gammafunktion für liefert unter anderem die Stirlingsche Formel, es gilt

    mit    

Rekursive Näherung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Funktionalgleichung

die eine Art Periodizität beinhaltet, können aus bekannten Funktionswerten in einem Streifen der Breite 1 in die Werte in jedem anderen entsprechenden Streifen rekursiv berechnet werden. Mit

kann man von einem Streifen auf den benachbarten mit kleinerem Realteil gelangen, und das -fach.[41] Da es für großes sehr gute Näherungen für gibt, kann deren Genauigkeit in Bereiche übertragen werden, in denen direkte Anwendung der betreffenden Näherung nicht anzuraten wäre. Nach Rocktäschel[42] empfiehlt sich, wie schon von Carl Friedrich Gauß bemerkt, die aus der Stirling-Formel abgeleitete asymptotische Entwicklung in

.

Diese hat zwar im Nahbereich bei eine Irregularität, ist aber schon für brauchbar. Mit dem Korrekturterm wird ihr Fehler auf die Größenordnung für unbeschränkt wachsendes verringert.

Die -fache Anwendung dieser Näherung führt auf

Den komplexen Logarithmus berechnet man über die Polardarstellung von . Für die meisten Anwendungen, etwa in der Wellenausbreitung,[43] sollte ausreichen.

Unvollständige Gammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Literatur wird dieser Begriff, im Hinblick auf Integrationsgrenzen und Normierung (Regularisierung), nicht einheitlich verwendet.

Häufige Notationen sind:

    unvollständige Gammafunktion der oberen Grenze
    unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze
    regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der oberen Grenze
    regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der unteren Grenze

Spricht man von einer regularisierten Gammafunktion, so impliziert dies schon, dass sie unvollständig ist.

    oder    

steht für die verallgemeinerte unvollständige Gammafunktion.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung ist die multivariate Gammafunktion, die in der Wishart-Verteilung anzutreffen ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. B. G. Teubner, Leipzig 1906 (im Internetarchiv, dito, dito).
  • E. T. Whittaker, G. N. Watson: The Gamma function. Kapitel 12 in A course of modern analysis. Cambridge University Press, 4. Ausgabe 1927; Neuauflage 1996, ISBN 0-521-58807-3, S. 235–264 (englisch; im Internetarchiv).
  • Emil Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. B. G. Teubner, Leipzig 1931; The Gamma function. Holt, Rinehart and Winston, New York 1964 (englische Übersetzung von Michael Butler).
  • Friedrich Lösch, Fritz Schoblik: Die Fakultät (Gammafunktion) und verwandte Funktionen. Mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen. B. G. Teubner, Leipzig 1951.
  • Philip J. Davis: Leonhard Euler’s integral: A historical profile of the gamma function. The American Mathematical Monthly 66, 1959, S. 849–869 (englisch; 1963 mit dem Chauvenet-Preis ausgezeichnet; bei MathDL).
  • Konrad Königsberger: Die Gammafunktion. Kapitel 17 in Analysis 1. Springer, Berlin 1990; 6. Auflage 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 351–360.
  • Reinhold Remmert: Die Gammafunktion. Kapitel 2 in Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 1991; mit Georg Schumacher: 3. Auflage 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, S. 31–73.
  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Die Gammafunktion. Kapitel 4.1 in Funktionentheorie 1. Springer, Berlin 1993; 4. Auflage 2006, ISBN 3-540-31764-3, S. 194–212.
  • Jörg Arndt: Matters Computational, Ideas, Algorithms, Source Code. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-14763-0, Seite 610
  • Hermann Hankel: Die Eulerschen Integrale bei unbeschränkter Variabilität des Arguments. Z. Math. Phys., 9 (1864), Seiten 1–21.
  • Edmund T. Whittaker, George Neville Watson: A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Brief (JPG-Datei, 136 kB) von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Band 2), St.-Pétersbourg 1843, S. 324–325 (französisch).
  2. Peter Luschny: Interpolating the natural factorial n! or The birth of the real factorial function (1729–1826). (Englisch).
  3. a b Brief (PDF-Datei, 118 kB) von Leonhard Euler an Christian Goldbach vom 13. Oktober 1729, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 3–7 (lateinisch).
  4. a b Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I. (30. Januar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 26 (lateinisch; auch in Gauß: Werke. Band 3. S. 145).
  5. Brief (PDF-Datei, 211 kB) von Leonhard Euler an Christian Goldbach vom 8. Januar 1730, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. Band 1, St.-Pétersbourg 1843, S. 11–18 (lateinisch).
  6. a b Leonhard Euler: De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. (28. November 1729), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 5, 1738, S. 36–57 (lateinisch).
  7. Leonhard Euler: De evolutione integralium per producta infinita. (PDF-Datei, 1,2 MB), Kapitel 9 in Teil 1 des ersten Bandes von Euler: Institutionum calculi integralis. 1768, S. 225–250 (lateinisch).
  8. Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 477 (französisch).
  9. Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes. (Band 2), Huzard-Courcier, Paris 1826, S. 365 (französisch).
  10. O. Hölder: Ueber die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen. 26. Juni 1886, Mathematische Annalen 28, 1887, S. 1–13.
  11. Steven B. Bank, Robert P. Kaufman: A note on Hölder’s theorem concerning the Gamma function. Mathematische Annalen 232, 1978, S. 115–120 (englisch).
  12. Karl Weierstraß: Über die Theorie der analytischen Facultäten. (20. Mai 1854), Journal für die reine und angewandte Mathematik 51, 1856, S. 36.
  13. Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. 1906, S. 3.
  14. Davis: Leonhard Euler’s integral: A historical profile of the gamma function. 1959, S. 867.
  15. Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. 1931, S. 31–35.
  16. Harald Bohr, Johannes Mollerup: Lærebog i matematisk Analyse III. (Lehrbuch der mathematischen Analysis III), Jul. Gjellerups Forlag, København (Kopenhagen) 1922 (dänisch).
  17. Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. 1931, S. 12–13.
  18. N. Bourbaki: Éléments de mathématique IV. Fonctions d’une variable réelle. Hermann, Paris 1951 (französisch).
  19. Konrad Knopp: Funktionentheorie II. (5. Auflage), de Gruyter, Berlin 1941, S. 47–49.
  20. Reinhold Remmert: Wielandt’s theorem about the Γ-function. The American Mathematical Monthly 103, 1996, S. 214–220 (englisch).
  21. Brief von Carl Friedrich Gauß an Friedrich Wilhelm Bessel vom 21. November 1811, abgedruckt in Arthur Auwers (Hrsg.): Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel, Wilhelm Engelmann, Leipzig 1880, S. 151–155 (Auszug in Gauß: Werke. Band 10.1. S. 362–365).
  22. O. Schlömilch: Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art. Archiv der Mathematik und Physik 4, 1844, S. 171.
  23. Remmert: Die Gammafunktion. Kapitel 2 in Funktionentheorie 2. 2007, S. 39.
  24. E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, ISBN 3-540-31764-3, Seite 225.
  25. Siehe Remmert: Funktionentheorie 2. Kapitel 2, S. 51.
  26. DLMF: §5.9 Integral Representations ‣ Properties ‣ Chapter 5 Gamma Function. Abgerufen am 3. Februar 2023.
  27. T. Schmelzer, L. Trefethen: Computing the Gamma Function Using Contour Integrals and Rational Approximations. In: SIAM J. Numer. Anal. 2007 (semanticscholar.org [abgerufen am 3. Februar 2023]).
  28. E. E. Kummer: Beitrag zur Theorie der Function . Journal für die reine und angewandte Mathematik 35, 1847, S. 4.
  29. C. J. Malmstén: De integralibus quibusdam definitis, seriebusque infinitis. (1. Mai 1846), Journal für die reine und angewandte Mathematik 38, 1849, S. 25 (lateinisch).
  30. Ia. V. Blagouchine: Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. 2014, Ramanujan J., 35(1), 21–110, doi:10.1007/s11139-013-9528-5. Erratum-Addendum doi:10.1007/s11139-015-9763-z
  31. L. Euler: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. (1749), Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 17 (1761), 1768, S. 96/97 (französisch).
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  33. Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 485 (französisch).
  34. Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I. 30. Januar 1812, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 30 (lateinisch; auch in Gauß: Werke. Band 3, S. 150).
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