Gammafunktion

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Graph der Gammafunktion im Reellen
Komplexe Gammafunktion: Die Helligkeit entspricht dem Betrag, die Farbe dem Argument des Funktionswerts. Zusätzlich sind Höhenlinien konstanten Betrags eingezeichnet.
Betrag der komplexen Gammafunktion

Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein , den griechischen Großbuchstaben Gamma, bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft

für jede natürliche Zahl , wobei mit die Fakultät bezeichnet wird. Die Motivation zur Definition der Gammafunktion war, die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Argumente erweitern zu können. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler löste im Jahr 1729 diese Fragestellung und definierte die Gammafunktion mittels eines unendlichen Produktes. Heute wird die Gammafunktion oft mittels einer Integraldarstellung definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht.

Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde.

Einordnung ohne mathematisches Vorwissen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine mathematische Funktion ist im Grunde wie eine Rechenmaschine. Man gibt einen Wert in die Funktion ein, und diese liefert dann ein Ergebnis in Abhängigkeit vom Eingabewert, zumindest theoretisch. Damit ist gemeint, dass die Funktion an sich nicht rechnet, sondern meist nur eine Rechenvorschrift formelhaft festhält. Einfaches Beispiel für eine Funktion ist die quadratische Funktion, welche die Eingabe mit sich selbst multipliziert. Formelhaft schreibt man dies als . Somit ordnet die quadratische Funktion beispielsweise der Zahl den Wert zu. Rechnet man dies aus, ergibt sich , also .

Die Gammafunktion fußt auf einer Vorschrift, die auch als Fakultät bekannt ist. Diese ordnet einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen bis zu dieser Zahl zu. Bezeichnet wird die Fakultät mit dem Symbol des Ausrufezeichens. Also gilt zum Beispiel

Es galt innerhalb der Mathematik als Problem, ob sich diese Vorschrift auch auf Zahlen anderer Art erweitern ließe. Konkret bedeutet das:

  • Lassen sich Fakultäten auch für beliebige rationale, reelle, komplexe Zahlen berechnen? Wie in etwa könnte man sich vorstellen?
  • Falls solche „universelle“ Vorschriften gefunden werden, welche mathematischen Eigenschaften können ihnen gegeben werden? Zeichnet sich eine dieser Vorschriften als ganz besonders natürlich und strukturell aus? Ist diese besondere Vorschrift eindeutig bestimmt, also „die eine“ verallgemeinerte Fakultät?

Die Antwort auf diese Fragen liefert die Gammafunktion. Für beliebige Werte liefert , also gilt zum Beispiel Die Verschiebung um 1 von der oben erwähnten Fakultät ist auf eine Konvention aus dem 19. Jahrhundert zurück zu führen. Die Strategie der Verallgemeinerung basiert auf der Beobachtung, dass aus einer vorherigen Fakultät durch Hinzunahme eines weiteren Faktors eine weitere Fakultät gewonnen wird. In etwa gilt und ganz allgemein . Demnach sollten sämtliche Werte der Gammafunktion mittels in Relation stehen. Stellt man weitere wichtige Bedingungen, wie Differenzierbarkeit, an , so kann diese schließlich eindeutig definiert werden, womit „die“ verallgemeinerte Fakultät gefunden ist.

Es gilt dann mit der Kreiszahl . Dieser Zusammenhang lässt sich über die Normalverteilung von Gauß erklären.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als früheste Definition der Gammafunktion gilt die in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729 gegebene:[1][2]

für unendlich große , entsprechend heutiger Notation oder . Wenige Tage später, am 13. Oktoberjul./ 24. Oktober 1729greg., beschrieb Euler ebenfalls in einem Brief an Goldbach die ähnliche, etwas einfachere Formel[3]

die Gauß 1812 für den allgemeineren Fall komplexer Zahlen wiederentdeckte[4] (die genannten Briefe wurden erst 1843 herausgegeben). Sie nähert sich mit wachsendem dem wahren Wert für oder . Am 8. Januar 1730 beschrieb Euler in einem Brief an Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion,[5] das er am 28. November 1729 der St. Petersburger Akademie vorgestellt hatte:[6]

    in heutiger Notation:    

Diese Definition wurde von Euler später bevorzugt verwendet[7] und geht durch die Substitution in die Form

über. Euler entdeckte dieses Integral bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Teilchens betrachtet wird.

Adrien-Marie Legendre führte 1809 die griechische Majuskel (Gamma) als Funktionssymbol ein.[8][9] Gauß verwendete 1812 das Funktionssymbol (Pi) so, dass und somit auch für nichtnegative ganzzahlige gilt. Es setzte sich jedoch nicht durch; heute wird als Symbol für ein Produkt benutzt (analog zu für eine Summe).

Definition und elementare Darstellungsformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt in der Literatur keine einheitliche Definition für die Gammafunktion.

Häufig wird das Eulersche Integral zweiter Gattung gegeben. Ein Nachteil ist, dass dieses Integral nicht überall konvergiert. Somit ist eine globale Berechnung mittels dieser Definition nur indirekt möglich. Für komplexe Zahlen mit positivem Realteil ist die Gammafunktion damit das uneigentliche Integral

Die dadurch definierte Funktion ist holomorph, da das Integral (wegen des schnellen Abfallens der Exponentialfunktion) auf kompakten Mengen gleichmäßig konvergiert. Dies ermöglicht den Einsatz des Weierstraßschen Konvergenzsatzes. Mittels meromorpher Fortsetzung lässt sich schließlich für alle Werte berechnen.

Eine andere Darstellung mittels eines Produktes motiviert die Verallgemeinerung der Fakultät auf direkte Weise. Sie ist gegeben durch:

In seinem Buch Number Theory. Analytic and modern tools. gibt Henri Cohen eine Definition mittels der Hurwitzschen Zeta-Funktion. Als Begründung hierfür wird eine „einfache Möglichkeit der Verallgemeinerung“ und die „Betonung wichtiger Formeln“ angegeben. Es gilt demnach für komplexe Zahlen mit positivem Realteil

wobei die Ableitung bezüglich der ersten Variablen gebildet ist.

Globale Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionalgleichung und Meromorphie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gammafunktion erfüllt in ihrem Definitionsbereich für alle die Funktionalgleichung

Mittels dieser Relation ist eine induktive Fortsetzung (beispielsweise des Eulerschen Integrals) möglich. Es gilt für alle :

Es kann gefolgert werden, dass eine in ganz holomorphe Funktion ist und einfache Pole in allen Punkten besitzt. Für das dortige Residuum gilt

Der Satz von Hölder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Hölder (Otto Hölder 1886)[10] ist ein Negativresultat und besagt, dass die Gammafunktion keine algebraische Differentialgleichung erfüllt, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Das heißt, es gibt keine Differentialgleichung der Form mit einer nichtnegativen ganzen Zahl und einem Polynom in , dessen Koeffizienten rationale Funktionen von sind, und der Lösung .[11]

Axiomatische Charakterisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fortsetzung der Fakultät[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bedingungen und , die die Fakultät für natürliche Zahlen eindeutig beschreiben, werden auch von anderen analytischen Funktionen als der Gammafunktion erfüllt. Für positive erfüllt beispielsweise die Funktion

für die charakteristischen Bedingungen der Gammafunktion. Weierstraß fügte 1854 daher die notwendige und hinreichende Bedingung

hinzu,[12][13] womit aber die Suche nach einer möglichst elementaren oder natürlichen charakterisierenden Eigenschaft nicht beendet war.[14] Emil Artin diskutierte 1931 die mögliche Kennzeichnung durch Funktionalgleichungen.[15]

Der Satz von Bohr-Mollerup[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Bohr-Mollerup (Harald Bohr und Johannes Mollerup 1922)[16][17] erlaubt eine einfache Charakterisierung der Gammafunktion:

Eine Funktion ist in diesem Bereich genau dann gleich der Gammafunktion, wenn gilt:
  1. ist logarithmisch konvex, das heißt, ist eine konvexe Funktion.

Diese Axiome sind bei Nicolas Bourbaki der Ausgangspunkt für die Darstellung der Theorie der Gammafunktion.[18]

Der Satz von Wielandt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Wielandt über die Gammafunktion (Helmut Wielandt 1939)[19][20] charakterisiert die Gammafunktion als holomorphe Funktion und besagt:

Eine holomorphe Funktion , definiert auf einem Gebiet , das den Streifen enthält, ist genau dann gleich der Gammafunktion auf , wenn gilt:
  1. ist auf dem Streifen beschränkt, das heißt, es existiert ein , sodass für alle aus .

Genauer gilt für alle mit .

Weitere Darstellungsformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neben der Darstellung der Gammafunktion aus der Definition gibt es noch andere äquivalente Darstellungen. Eine direkte Definition von für alle gibt die Produktdarstellung der Gammafunktion nach Gauß,[21][4]

die für positive reelle Zahlen bereits von Euler 1729 angegeben wurde.[3] Daraus abgeleitet ist die Darstellung von als Weierstraß-Produkt:[22]

mit der Eulerschen Konstante . Das zweite Produkt wird üblicherweise als Weierstraßsche Darstellung bezeichnet, Karl Weierstraß verwendete jedoch nur das erste.[23]

Die Integraldarstellung aus der Definition geht ebenfalls auf Euler 1729 zurück,[6] sie gilt allgemeiner für komplexe Zahlen mit positivem Realteil:

    wenn    

Durch die Zerlegung dieses Integrals folgerte E. F. Prym 1876[24] eine in ganz gültige Darstellung:

Eine andere Variante der Eulerschen Integraldarstellung[25] gibt es für mit :

Aus dieser Darstellung lassen sich zum Beispiel auf elegante Weise die Fresnelschen Integralformeln ableiten.

Ernst Eduard Kummer gab 1847 die Fourierentwicklung der logarithmischen Gammafunktion an:[26]

    für    

Sie heißt auch Kummersche Reihe. Bereits 1846 fand Carl Johan Malmstén eine ähnliche Reihe:[27][28]

    für    

Funktionalgleichungen und spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gammafunktion genügt der Funktionalgleichung

    mit    

Im Folgenden wird ermittelt:

Daraus folgt:

Mit dem Ergänzungssatz der Gammafunktion (Euler 1749)[29][30]

    für    

erhält man ebenso (Folge A002161 in OEIS) sowie

    und         für    

Mit allgemeiner gewähltem wird aus der letzten Formel die Legendresche Verdopplungsformel (Legendre 1809)[31]

    für    

Diese ist ein Spezialfall der Gaußschen Multiplikationsformel (Gauß 1812)[32]

    für         und    

Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass jede der Zahlen , , , , und transzendent und algebraisch unabhängig von ist. Hingegen ist beispielsweise von dem Funktionswert (Folge A175380 in OEIS) nicht einmal bekannt, ob er irrational ist.[33][34]

Mit der lemniskatischen Konstante gilt

(Folge A068466 in OEIS).

Denn es gilt Folgendes:

Hierbei gilt folgende Formel über den Arcussinus lemniscatus:

Die Gammafunktionswerte der Drittel können ebenso mit Hilfe elliptischer Integrale erster und zweiter Ordnung dargestellt werden:

Denn es gilt Folgendes:

Wegen der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes gilt:

Die Steigung der Gammafunktion an der Stelle 1 ist gleich dem Negativen der Euler-Mascheroni-Konstante :

Die Gammafunktion hat an den Stellen Pole erster Ordnung. Aus der Funktionalgleichung erhält man für die Residuen

Alternativ lassen sie sich direkt an der Formel

ablesen. Da keine Nullstellen hat, ist eine ganze Funktion.

Zusammenhang mit der Riemannschen ζ-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bernhard Riemann brachte 1859 die Gammafunktion mit der Riemannschen ζ-Funktion über die Formel

und die folgende Feststellung in Beziehung:[35] Der Ausdruck „bleibt ungeändert, wenn in verwandelt wird“, also

Näherungsweise Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stirlingsche Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Näherungswerte der Gammafunktion für liefert unter anderem die Stirlingsche Formel, es gilt

    mit    

Rekursive Näherung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Funktionalgleichung

die eine Art Periodizität beinhaltet, können aus bekannten Funktionswerten in einem Streifen der Breite 1 in die Werte in jedem anderen entsprechenden Streifen rekursiv berechnet werden. Mit

kann man von einem Streifen auf den benachbarten mit kleinerem Realteil gelangen, und das -fach.[36] Da es für großes sehr gute Näherungen für gibt, kann deren Genauigkeit in Bereiche übertragen werden, in denen direkte Anwendung der betreffenden Näherung nicht anzuraten wäre. Nach Rocktäschel[37] empfiehlt sich, wie schon von Carl Friedrich Gauß bemerkt, die aus der Stirling-Formel abgeleitete asymptotische Entwicklung in

.

Diese hat zwar im Nahbereich bei eine Irregularität, ist aber schon für brauchbar. Mit dem Korrekturterm wird ihr Fehler auf die Größenordnung für unbeschränkt wachsendes verringert.

Die -fache Anwendung dieser Näherung führt auf

Den komplexen Logarithmus berechnet man über die Polardarstellung von . Für die meisten Anwendungen, etwa in der Wellenausbreitung,[38] sollte ausreichen.

Unvollständige Gammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Literatur wird dieser Begriff, im Hinblick auf Integrationsgrenzen und Normierung (Regularisierung), nicht einheitlich verwendet.

Häufige Notationen sind:

    unvollständige Gammafunktion der oberen Grenze
    unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze
    regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der oberen Grenze
    regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der unteren Grenze

Spricht man von einer regularisierten Gammafunktion, so impliziert dies schon, dass sie unvollständig ist.

    oder    

steht für die verallgemeinerte unvollständige Gammafunktion.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Brief (JPG-Datei, 136 kB) von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Band 2), St.-Pétersbourg 1843, S. 324–325 (französisch).
  2. Peter Luschny: Interpolating the natural factorial n! or The birth of the real factorial function (1729–1826). (Englisch).
  3. a b Brief (PDF-Datei, 118 kB) von Leonhard Euler an Christian Goldbach vom 13. Oktober 1729, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 3–7 (lateinisch).
  4. a b Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I. (30. Januar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 26 (lateinisch; auch in Gauß: Werke. Band 3. S. 145).
  5. Brief (PDF-Datei, 211 kB) von Leonhard Euler an Christian Goldbach vom 8. Januar 1730, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. Band 1, St.-Pétersbourg 1843, S. 11–18 (lateinisch).
  6. a b Leonhard Euler: De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. (28. November 1729), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 5, 1738, S. 36–57 (lateinisch).
  7. Leonhard Euler: De evolutione integralium per producta infinita. (PDF-Datei, 1,2 MB), Kapitel 9 in Teil 1 des ersten Bandes von Euler: Institutionum calculi integralis. 1768, S. 225–250 (lateinisch).
  8. Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 477 (französisch).
  9. Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes. (Band 2), Huzard-Courcier, Paris 1826, S. 365 (französisch).
  10. O. Hölder: Ueber die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen. 26. Juni 1886, Mathematische Annalen 28, 1887, S. 1–13.
  11. Steven B. Bank, Robert P. Kaufman: A note on Hölder’s theorem concerning the Gamma function. Mathematische Annalen 232, 1978, S. 115–120 (englisch).
  12. Karl Weierstraß: Über die Theorie der analytischen Facultäten. (20. Mai 1854), Journal für die reine und angewandte Mathematik 51, 1856, S. 36.
  13. Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. 1906, S. 3.
  14. Davis: Leonhard Euler’s integral: A historical profile of the gamma function. 1959, S. 867.
  15. Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. 1931, S. 31–35.
  16. Harald Bohr, Johannes Mollerup: Lærebog i matematisk Analyse III. (Lehrbuch der mathematischen Analysis III), Jul. Gjellerups Forlag, København (Kopenhagen) 1922 (dänisch).
  17. Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. 1931, S. 12–13.
  18. N. Bourbaki: Éléments de mathématique IV. Fonctions d’une variable réelle. Hermann, Paris 1951 (französisch).
  19. Konrad Knopp: Funktionentheorie II. (5. Auflage), de Gruyter, Berlin 1941, S. 47–49.
  20. Reinhold Remmert: Wielandt’s theorem about the Γ-function. The American Mathematical Monthly 103, 1996, S. 214–220 (englisch).
  21. Brief von Carl Friedrich Gauß an Friedrich Wilhelm Bessel vom 21. November 1811, abgedruckt in Arthur Auwers (Hrsg.): Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel, Wilhelm Engelmann, Leipzig 1880, S. 151–155 (Auszug in Gauß: Werke. Band 10.1. S. 362–365).
  22. O. Schlömilch: Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art. Archiv der Mathematik und Physik 4, 1844, S. 171.
  23. Remmert: Die Gammafunktion. Kapitel 2 in Funktionentheorie 2. 2007, S. 39.
  24. E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, ISBN 3-540-31764-3, Seite 225.
  25. Siehe Remmert: Funktionentheorie 2. Kapitel 2, S. 51.
  26. E. E. Kummer: Beitrag zur Theorie der Function . Journal für die reine und angewandte Mathematik 35, 1847, S. 4.
  27. C. J. Malmstén: De integralibus quibusdam definitis, seriebusque infinitis. (1. Mai 1846), Journal für die reine und angewandte Mathematik 38, 1849, S. 25 (lateinisch).
  28. Ia. V. Blagouchine: Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. 2014, Ramanujan J., 35(1), 21–110, doi:10.1007/s11139-013-9528-5. Erratum-Addendum doi:10.1007/s11139-015-9763-z
  29. L. Euler: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. (1749), Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 17 (1761), 1768, S. 96/97 (französisch).
  30. L. Euler: Evolutio formulae integralis integratione a valore x=0 ad x=1 extensa. 4. Juli 1771, Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 16, 1772, S. 121 (lateinisch).
  31. Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 485 (französisch).
  32. Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I. 30. Januar 1812, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 30 (lateinisch; auch in Gauß: Werke. Band 3, S. 150).
  33. Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 33 (englisch).
  34. Gregory V. Chudnovsky: Contributions to the theory of transcendental numbers. American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8, S. 8 (englisch).
  35. Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. (19. Oktober 1859), Monatsberichte der Königlichen Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, S. 671–680.
  36. Paul Eugen Böhmer: Differenzengleichungen und bestimmte Integrale. K. F. Koehler, Leipzig 1939, S. 108.
  37. Otto Rudolf Rocktäschel: Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument. Dissertation, Dresden 1922, S. 14.
  38. Karl Rawer: Wave Propagation in the Ionosphere. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1993, ISBN 0-7923-0775-5 (englisch).