Ganzes Element

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Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

Definition[Bearbeiten]

Es sei A ein Ring und B eine A-Algebra. Dann heißt ein Element b\in B ganz über A, wenn es ein normiertes Polynom p\in A[X]\setminus \{0\} gibt, so dass p(b)=0 gilt.

Die Menge der über A ganzen Elemente von B der ganze Abschluss von A in B.

Falls der ganze Abschluss von A in B mit A übereinstimmt, heißt A ganz abgeschlossen in B. Stimmt der ganze Abschluss von A in B jedoch mit B überein, ist also jedes Element von B ganz über A, so heißt B ganz über A.

Beispiele[Bearbeiten]

 \mathcal O_K=\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].

Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen[Bearbeiten]

Sei A\subseteq B eine Ringerweiterung, x\in B. Dann sind äquivalent:[1]

  • x ist ganz über A,
  • A[x] ist als A-Modul endlich erzeugt,
  • es gibt einen Teilring C\subseteq B, sodass A[x]\subseteq C und C als A-Modul endlich erzeugt ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Der ganze Abschluss von A in B ist eine A-Unteralgebra von B.
  • Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung A\subseteq B\subseteq C, dass C genau dann ganz über A ist, wenn B ganz über A und C ganz über B ist.[2]
  • Ist A\subseteq B eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in B und darunterliegenden Primidealketten in A. Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.
  • Falls A ein Unterring des Körpers K ist, dann ist der ganze Abschluss von A in K der Durchschnitt aller Bewertungsringe von K die A enthalten.[6]

Literatur[Bearbeiten]

  • M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.1.
  2. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.4.
  3. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, S. 60
  4. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.6.
  5. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.7.
  6. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.22.