Ganzheitsring

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Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Körpers der rationalen Zahlen. Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als algebraisch ganze Zahlen bezeichnet, die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im Körper aller algebraischen Zahlen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein algebraischer Zahlkörper, d.h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Dann ist der Ganzheitsring von definiert als der ganze Abschluss von in , d.h. die Teilmenge derjenigen , die eine Gleichung der Form

mit erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von (der Leitkoeffizient des Polynoms ) gleich 1 sein muss. Man bezeichnet solche Polynome als normiert. Ohne diese Einschränkungen bekäme man den ganzen Körper .

Eine äquivalente Definition lautet: Der Ganzheitsring von K ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung, die Hauptordnung auf K.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist ein Dedekindring.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist , so ist der Ring der Eisenstein-Zahlen
mit
Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms
Erfüllt umgekehrt die Polynomgleichung
mit
so folgt und . Man kann zeigen, dass dann und ganzzahlig sind, also ist
eine Eisenstein-Zahl.
  • Ist , so ist der Ring der ganzen gaußschen Zahlen .
  • Allgemein sieht für den Ganzheitsring von (wobei ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:
falls kongruent 2 oder 3 mod 4
falls kongruent 1 mod 4
  • Bezeichnet eine primitive -te Einheitswurzel, so ist der Ganzheitsring des -ten Kreisteilungskörpers gleich .
mit rationalen Zahlen , , , , so ist der Ring der Hurwitzquaternionen
.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]