Gaußsche Summenformel

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Die gaußsche Summenformel, auch kleiner Gauß genannt, ist eine Formel für die Summe der ersten aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen:

Diese Reihe ist ein Spezialfall der arithmetischen Reihe, und ihre Summen werden Dreieckszahlen genannt.

Veranschaulichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Numerische Veranschaulichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Formel lässt sich folgendermaßen veranschaulichen: Man schreibt die Zahlen von 1 bis aufsteigend in eine Zeile. Darunter schreibt man die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge:

Die Summe jeder Spalte ist Da es Spalten sind, ist die Summe der Zahlen beider Zeilen gleich Um die Summe der Zahlen einer Zeile zu ermitteln, wird das Ergebnis halbiert, und es ergibt sich die obige Formel:

Geometrische Veranschaulichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Bild unten werden die einzelnen Summanden als grüne Kästchenreihen zu einem Dreieck angeordnet, das durch die weißen Kästchen zu einem Quadrat mit Seitenlänge erweitert wird. Die einfache Halbierung des Quadrats entlang einer seiner Diagonalen würde die genau auf der Diagonale liegenden Kästchen ebenfalls teilen, was unerwünscht ist. Daher wird das Quadrat rechts um eine Spalte mit blauen Kästchen zu einem Rechteck ergänzt, dessen Halbierung entlang der roten Linie wie gewünscht genau die grünen Kästchen abspaltet.

Gaußsche Summenformel geometrisch.svg

Man braucht nun nur mehr die Anzahl aller Kästchen zu halbieren, was sofort zur gesuchten Anzahl der grünen Kästchen führt.

Herkunft der Bezeichnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Summenformel wie auch die Summenformel für die ersten Quadratzahlen war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.

Carl Friedrich Gauß entdeckte diese Formel als neunjähriger Schüler wieder. Die Geschichte ist durch Wolfgang Sartorius von Waltershausen überliefert:

„Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“

Wolfgang Sartorius von Waltershausen[1]

Die genaue Aufgabenstellung ist nicht überliefert. Oft wird berichtet, dass Büttner die Schüler die Zahlen von 1 bis 100 (nach anderen Quellen von 1 bis 60) addieren ließ und Gauß feststellte, dass die erste und die letzte Zahl (1+100), die zweite und die vorletzte Zahl (2+99) usw. zusammen immer 101 ergeben. Der Wert der gesuchten Summe ergibt sich so zu 101 mal 50.

Entsprechend den damaligen Verhältnissen unterrichtete Büttner etwa 100 Schüler in einer Klasse. Damals waren auch Züchtigungen mit der sogenannten Karwatsche (Karbatsche, Lederpeitsche) üblich. Sartorius berichtet:

„Am Ende der Stunde wurden darauf die Rechentafeln umgekehrt; die von Gauss mit einer einzigen Zahl lag oben und als Büttner das Exempel prüfte, wurde das seinige zum Staunen aller Anwesenden als richtig befunden, während viele der übrigen falsch waren und alsbald mit der Karwatsche rectificirt wurden.“

Wolfgang Sartorius von Waltershausen[2]

Büttner erkannte bald, dass Gauß in seiner Klasse nichts mehr lernen konnte.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für diese Summenformel gibt es zahlreiche Beweise. Neben dem oben vorgeführten Beweis der Vorwärts- und Rückwärts-Summation ist noch das folgende allgemeine Prinzip interessant:[3]

Um zu beweisen, dass für alle natürlichen

gilt, reicht es aus,

für alle positiven und

zu zeigen. In der Tat trifft dies hier zu:

für alle und

Auch ein Beweis der gaußschen Summenformel mit vollständiger Induktion ist möglich.

Verwandte Summen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der gaußschen Summenformel ergeben sich durch Anwenden des Distributivgesetzes und anderer ähnlich elementarer Rechenregeln leicht auch Formeln für die Summe der geraden bzw. der ungeraden Zahlen.

liefert die Summe der ersten aufeinanderfolgenden geraden Zahlen:

Die Formel für die Summe der ersten aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen

ergibt sich so:

Die Summe der ersten aufeinanderfolgenden Quadratzahlen

wird als quadratische Pyramidalzahl bezeichnet. Eine Verallgemeinerung auf eine beliebige positive ganze Zahl als Exponenten ist die Faulhabersche Formel.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtnis. 1856, S. 12 (Auszug (Google))
  2. Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtnis. 1856, S. 13 (Auszug (Google))
  3. Marko Petkovsek, Herbert Wilf, Doron Zeilberger: A=B. 1997, S. 10 (math.upenn.edu).