Gebrochene Brownsche Bewegung

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Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen , welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:

wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Selbstähnlichkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse und für jedes feste c >0 dieselbe Verteilung besitzen.

Stationäre Inkremente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung

Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:

  • falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
  • falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
  • falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

Pfadeigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index für jedes .

Stochastische Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Øksendal, Tusheng Zhang: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion. Springer, London 2010, ISBN 1-84996-994-9 (Softcover reprint of hardcover 1st ed. 2008).