Gell-Mann-Matrizen

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Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).

Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als mit schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)

(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:

Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.

Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:

Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:

Bei der SU(2) hat man anstelle der acht -Matrizen die drei Pauli-Matrizen.

Die -Matrizen haben folgende Eigenschaften:

  • Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
  • Sie sind spurlos, das heißt .
  • Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt .

Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]