Verallgemeinerte lineare Modelle

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Generalisierte Lineare Modelle)
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Statistik sind Verallgemeinerte lineare Modelle (VLM), auch Generalisierte Lineare Modelle (GLM) eine 1972 von John Nelder und Robert Wedderburn eingeführte Verallgemeinerung des klassischen linearen Regressionsmodells in der Regressionsanalyse.[1] Während man in linearen Modellen annimmt, dass der Fehlerterm (die Zufallskomponente) normalverteilt ist, kann er in GLMs eine Verteilung aus der Klasse der exponentiellen Familien besitzen. Diese Verteilungsklasse beinhaltet neben der Normalverteilung auch die Binomial-, Poisson-, Gamma- und inverse Gaußverteilung.

Modellkomponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die verallgemeinerten linearen Modelle bestehen aus drei Komponenten:

  • Zufallskomponente: Wie bei den klassischen linearen Modellen ist man an einer Zielgröße und unabhängigen Kovariablenvektoren , wobei , interessiert. Hierbei sind die unabhängig und besitzen eine Verteilung aus der exponentiellen Familie.
  • Systematische Komponente: Gegeben sind Kovariablenvektoren , welche die Verteilung von nur durch eine lineare Funktion beeinflussen. Diese lineare Funktion heißt linearer Prädiktor und ist in folgender Form gegeben:
Hier erkennt man, dass der lineare Prädiktor die Regressionsparameter in das Modell miteinführt.
  • Parametrische Link-Komponente: Der Erwartungswertvektor ist eine differenzierbare, monotone und damit invertierbare Funktion des linearen Prädiktors . Dabei wird der Erwartungswert über eine Regressionsfunktion mit dem linearen Prädiktor verknüpft:
, wobei als Link-Funktion bezeichnet wird.

Exponentialfamilie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verteilung einer Zielvariablen gehört zur Exponentialfamilie, wenn sich die Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion in folgender Form schreiben lässt:

Für alle Verteilungen der exponentiellen Familie gilt:

Beispiele für Verteilungen, die zur exponentiellen Familie gehören:

Verteilung
Normalverteilung
Bernoulli-Verteilung
mit
Binomialverteilung
mit
Poisson-Verteilung
mit

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • John Nelder, Peter McCullagh: Generalized Linear Models, Chapman and Hall/CRC Press, 2. Auflage 1989

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. John Nelder, Robert Wedderburn: Generalized Linear Models. In: Journal of the Royal Statistical Society, Series A (General). 135, 1972, S. 370–384. doi:10.2307/2344614.