Generischer Punkt

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Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Punkt eines topologischen Raumes heißt generisch, wenn der Abschluss der Teilmenge ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
  • Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T0, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
  • In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
  • Ist ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes , so ist der Abschluss von in eine irreduzible Teilmenge von , und ist ein generischer Punkt von .

Beispiel aus der algebraischen Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Integritätsring, so ist das Nullideal der (einzige) generische Punkt des Spektrums ; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von .

Bedeutung für die algebraische Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein irreduzibles Schema und sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für . Ist beispielsweise eine kohärente Garbe auf , so ist äquivalent dazu, dass für alle in einer geeigneten offenen Teilmenge von .

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 87). Vieweg, Braunschweig u. a. 1997, ISBN 3-528-07287-3, S. 69–70.