Geometrische Folge

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Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

Namensherkunft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer geometrischen Folge ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder.

Die Summierung der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das -te Glied einer geometrischen Folge mit dem Quotienten berechnet sich aus der Formel[1]

,

wenn das Anfangsglied mit bezeichnet wird, oder

,

wenn das Anfangsglied mit bezeichnet wird.

Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich auch aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen, dazu dient die folgende rekursive Formel:

.

Bemerkung: Jede geometrische Folge lässt sich mit einer solchen Funktionsvorschrift beschreiben, aber eine solche Funktionsvorschrift beschreibt nicht immer eine geometrische Folge. So kann das Anfangsglied einer geometrischen Folge nicht sein, denn wegen des Verbots der Division durch existiert der Quotient der ersten beiden Folgenglieder nicht für . Mit der gleichen Argumentation sind Dupel

, wobei , beliebig wählbar

der einzige Typ geometrischer Folgen, die (überhaupt irgend)ein Folgenglied haben, oder für die ist. Insbesondere gibt es keine unendlichen geometrischen Folgen mit oder mit .

Zahlenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied und dem Quotienten sind

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied und dem Quotienten sind

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt aus der Messgröße zum Zeitpunkt durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor ergibt. Beispiele:

Zinseszins[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Zinseszins

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis . Die Zahl heißt hier Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

  • nach einem Jahr ein Kapital von
  • nach zwei Jahren ein Kapital von
  • nach drei Jahren ein Kapital

und so weiter.

Gleichstufige Stimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

,

wobei beispielsweise die Frequenz des Kammertons, und die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand zum "Ursprungston" .

Der Wachstumsfaktor ist also .

Konvergenz geometrischer Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine unendliche geometrische Folge ist genau dann eine Nullfolge, wenn der Betrag des reellen (oder komplexen) Quotienten benachbarter Folgegelieder kleiner als 1 ist.


A. Behauptung: ist mindestens dann eine Nullfolge, wenn ist.

Beweis: Sei vorgegeben. Behauptet ist die Existenz eines mit der Eigenschaft, dass für alle gilt: .

Wegen und existiert . Hierbei ist der natürliche Logarithmus.

Wegen kehrt sich für alle nach Multiplikation mit das Ungleichheitszeichen um:

;

für ist ; Exponenzieren (zur Basis ) verändert das Ungleichheitszeichen nicht:

;

wegen bleibt das Ungleichheitszeichen nach Multiplikation mit dem Nenner unverändert; mit :

; damit (1), q.e.d.


B. Behauptung: ist höchstens dann eine Nullfolge, wenn ist. ist keine Nullfolge, wenn ist.

Beweis: ist (bereits) dann keine Nullfolge, wenn ein so wählbar ist, dass für alle gilt: .

Multiplikation der Bedingung mit ergibt (wegen ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens):

, damit:

. .

Ein mit sei gewählt. Mit (2) gilt dann auch für alle : , q.e.d.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellenverzeichnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Folgen und Reihen. Abgerufen am 14. März 2010.