Geometrische Folge

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Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

Mathematische Formulierung[Bearbeiten]

Das i-te Glied a_i einer geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a_0 und dem Quotienten q berechnet sich aus der Formel

a_i = a_1 \cdot \,q^{i-1} [1] (explizite Formel) für \mathbb{N}^*

oder

a_i = a_0 \cdot \,q^{i} (explizite Formel) für \mathbb{N}_0,

also beispielsweise


a_5=a_1\;q^4 bei  \mathbb{N}^*.

Sind a_0 und q positive reelle Zahlen, so ist jedes Glied a_i mit i>0 das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder a_{i-1} und a_{i+1}. Diese Tatsache ist der Grund für die Bezeichnung „geometrische Folge“. Die Summe der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe. Die Glieder einer Geometrischen Folge lassen sich auch aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen, dazu dient die folgende Formel:

 a_{i+1} =a_i \cdot q (rekursive Formel)

Das erste Folgeglied wird, wenn mit \mathbb{N}_0 gerechnet wird, üblicherweise mit a_0 bezeichnet. Bei \mathbb{N}^* verwendet man hingegen a_1.

Zahlenbeispiele[Bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten]

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a_0=5 und dem Quotienten  q=3 sind


a_0=5,\ a_1=15,\ a_2=45,\ a_3=135,\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich


5,\ 15,\ 45,\ 135,\ 405,\ 1215,\ 3645,\ 10935,\ 32805,\ \dots

Beispiel 2[Bearbeiten]

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a_0=1 und dem Quotienten q=-\frac{1}{2} sind


a_0=1,\ a_1=-\frac{1}{2},\ a_2=\frac{1}{4},\ a_3=-\frac{1}{8},\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich


+1,\ -\frac{1}{2},\ +\frac{1}{4},\ -\frac{1}{8},\ +\frac{1}{16} ,\ -\frac{1}{32},\ +\frac{1}{64},\ -\frac{1}{128},\ +\frac{1}{256},\  \dots

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt n+1 aus der Messgröße zum Zeitpunkt n durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q ergibt. Beispiele:

Zinseszins[Bearbeiten]

Hauptartikel: Zinseszins

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis q = 1{,}05. Die Zahl q heißt hier Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

  • nach einem Jahr ein Kapital von
1000\;\mathrm{Euro} \cdot 1{,}05 = 1050 \;\mathrm{Euro},
  • nach zwei Jahren ein Kapital von
1000\;\mathrm{Euro} \cdot 1{,}05^2= 1102{,}50 \;\mathrm{Euro},
  • nach drei Jahren ein Kapital
1000\;\mathrm{Euro} \cdot 1{,}05^3= 1157{,}63 \;\mathrm{Euro}

und so weiter.

Gleichstufige Stimmung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

 f(i) = a_0 \cdot \left(\sqrt[12]{2}\,\right) ^i ,

wobei a_0 beispielsweise die Frequenz des Kammertons, und i die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. f(i) ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand i zum "Ursprungston" a_0.

Der Wachstumsfaktor ist also q = \sqrt[12]{2}.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Quellenverzeichnis[Bearbeiten]

  1. Folgen und Reihen. Abgerufen am 14. März 2010.