Geordnetes Paar

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Ein geordnetes Paar, auch 2-Tupel genannt, ist in der Mathematik eine wichtige Art und Weise, zwei mathematische Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen. Die beiden Objekte müssen dabei nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein und ihre Reihenfolge spielt eine Rolle. Geordnete Paare stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt und sind die Basisbausteine vieler komplexerer mathematischer Objekte.

Notation[Bearbeiten]

Ein geordnetes Paar ist eine Zusammenfassung zweier mathematischer Objekte a und b zu einer Einheit. Das geordnete Paar von a und b wird meist mit Hilfe runder Klammern durch

(a,b)

notiert. Dabei heißt a die linke, erste oder vordere Komponente des Paares und b die rechte, zweite oder hintere Komponente des Paares. Gelegentlich werden zur Notation auch andere Klammertypen, wie eckige Klammern, und andere Trennzeichen, wie Semikolon oder senkrechter Strich, verwendet. Wesentlich bei der Paarbildung ist die Reihenfolge der Elemente, das heißt, (a,b) und (b,a) sollen verschiedene Paare darstellen, falls a und b verschieden sind.

Gleichheit geordneter Paare[Bearbeiten]

Der Begriff des geordneten Paares ist durch Peanos Paaraxiom charakterisiert:

Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind.[1]

Als Formel lässt sich das Paaraxiom folgendermaßen ausdrücken:

(a,b) = (c,d) \iff a=c ~\text{und}~ b=d.

Darstellung geordneter Paare als Mengen[Bearbeiten]

In der Literatur finden sich unter anderen für das geordnete Paar (a,b) folgende Darstellungen als Mengen:

  • \{a,\{a,b\}\}, so genannte kurze Darstellung
  • \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\}, wobei \boldsymbol{1} und \boldsymbol{2} voneinander verschiedene Objekte sind, beide auch verschieden von a und b, nach Felix Hausdorff (1914)[5]

Verwendung geordneter Paare[Bearbeiten]

Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler mathematischer Strukturen. Beispielsweise werden

Literatur[Bearbeiten]

Quellennachweis[Bearbeiten]

  1. Giuseppe Peano: Logique Mathématique (1897), Formel 71, in: Opere scelte II 224, oben verbalisiert
  2. Encyclopaedia of Mathematics: tuple
  3. Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel. Harvard University Press, Cambridge/London 2002, ISBN 0-674-32449-8, S. 224ff.
  4. Kazimierz Kuratowski: Sur la notion de l‘ordere dans la Théorie des Ensembles. in: Fundamenta Mathematica II (1921), S. 171.
  5. Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig 1914, S. 32–33.
  6. Jürgen Schmidt: Mengenlehre. Band 1: Grundbegriffe, Seite 95f. B I Hochschultaschenbücher

Weblinks[Bearbeiten]