Geringter Raum

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Ein geringter Raum ist ein Konstrukt aus den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und der Funktionentheorie. Ein geringter Raum besteht aus einem topologischen Raum und einer Menge kommutativer Ringe, deren Elemente man als Funktionen auf den offenen Mengen des Raumes verstehen kann.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

zur nebenstehenden Definition

Eine geringter Raum ist ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe kommutativer Ringe auf , das heißt[1][2]:

  • Für jede offene Menge ist ein Ring gegeben, den man auch als schreibt.
  • Sind offene Teilmengen von , so gibt es einen Ringhomomorphismus , so dass
    • Für offene Mengen gilt ,
    • Für jede offene Menge gilt ,
  • und erfüllt die Garbenbedingungen: Für jede offene Menge und jede offene Überdeckung von , das heißt , und für Elemente mit für alle gibt es genau ein mit für alle .

Die Homomorphismen nennt man Restriktionen, da es sich in vielen Anwendungen tatsächlich um Einschränkungen von Abbildungen handelt, wie in den untenstehenden Beispielen klar werden wird. Sind die Garbenbedingungen nicht erfüllt, so liegt nur eine Prägarbe von Ringen vor. Hat man es mit mehreren geringten Räumen zu tun, so kann man zur besseren Unterscheidung schreiben, um die Zugehörigkeit zum topologischen Raum deutlich zu machen.

Man kann obige Definition auf eine topologische Basis einschränken, indem die Ringe und Restriktionen nur für offene Mengen aus der topologischen Basis erklärt und obige Bedingungen nur für Basismengen gefordert werden. Man erhält daraus einen geringten Raum im Sinne obiger Definition, indem man für beliebige offene Mengen den Ring als projektiven Limes der mit und aus der gegebenen topologischen Basis definiert.

Sind alle auftretenden Halme lokal, so spricht man von einem lokalen geringten Raum. Dieser Fall liegt in der algebraischen Geometrie vor, wie in den Beispielen gezeigt wird.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es sei ein topologischer Raum und für jede offene Menge sei der Ring der stetigen Funktionen sowie die Einschränkungsabbildung . Dann ist ein geringter Raum, man nennt ihn die Garbe der Keime stetiger Funktionen.
  • Ein wichtiges Beispiel aus der algebraischen Geometrie ist der wie folgt definierte lokal geringte Raum über dem Spektrum eines Ringes .
    • Die Mengen bilden eine topologische Basis von , wobei die nicht nilpotenten Elemente durchläuft; für nilpotente Elemente ist .
    • sei die Lokalisierung nach .
    • Ist , so gibt es ein mit für ein . Dann ist wohldefiniert, und erfüllt die Bedingungen eines geringten Raumes.[3]
Diesen geringten Raum nennt man ein affines Schema. Da die Ringe lokal sind, liegt ein lokal geringter Raum vor.
  • Geringte Räume spielen auch in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher eine wichtige Rolle. Ist ein Gebiet, so definiert man als den Ring der holomorphen Funktionen . Im unten angegebenen Lehrbuch [4] verlangen die Autoren von einem geringten Raum zusätzlich, dass hausdorffsch ist und in der Garbe der Keime stetiger Funktionen enthalten ist. Dort wird der Begriff des geringten Raumes also enger gefasst, ebenso in der Theorie der riemannschen Flächen.[5]

Einschränkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein geringter Raum und offen, so erhält man einen geringten Raum , wenn man für jede offene Menge (einer topologischen Basis) von festlegt, dass , denn ist ja auch eine offene Menge von . Man nennt die Einschränkung von auf .

Morphismen zwischen geringten Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

zur Definition des Morphismus geringter Räume

Ein Morphismus zwischen geringten Räumen und ist ein Paar bestehend aus einer stetigen Abbildung und einer Familie , wobei jedes ein Ringhomomorphismus ist und für offene Mengen in das Diagramm

kommutativ ist, wobei die Restriktionen in beiden Garben mit bezeichnet sind. Man sagt dafür kurz, dass die Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind.[6]

In der Kategorie der lokal geringten Räume verlangt man zusätzlich, dass die Ringhomomorphismen lokal sind, das heißt das maximale Ideal von in das maximale Ideal von abbilden.

Mit diesen Morphismen erhalten wir die Kategorie geringter Räume. Man kann daher von isomorphen geringten Räumen sprechen. Das ist für manche Begriffsbildungen sehr wichtig. So definiert man ein Schema als einen geringten Raum , in dem jeder Punkt des topologischen Raumes eine offene Umgebung besitzt, so dass die Einschränkung auf diese Umgebung isomorph zu einem affinen Schema ist.

Ganz ähnlich definiert man einen analytischen Raum als einen geringten Raum, in dem jeder Punkt eine Umgebung besitzt, so dass die Einschränkung darauf isomorph zu einem geringten Raum holomorpher Funktionen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit im ist.[7]

Modulgarben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein geringter Raum, so ist ein -Modul eine Garbe abelscher Gruppen über , so dass jede abelsche Gruppe die Struktur eines -Moduls trägt und die Restriktionen der Garbe Modulmorphismen sind, das heißt für alle offenen Mengen , Ringlemente und Modulelemente . Diese Objekte, die man auch Modulgarben nennt, werden in der algebraischen Geometrie und Funktionentheorie untersucht, wobei die kohärenten Garben eine wichtige Rolle spielen.[8]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 4: "Presheaves and Sheaves", Absatz "Ringed Spaces"
  2. Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen, Verlag: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek (2007), ISBN 3-9403-4405-2, Kapitel 2.12: "Geringte Räme"
  3. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 5: "Affine Schemes"
  4. R. Gunning, H. Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kapitel V, Absatz A, Definition 1
  5. Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen, Springer-Verlag (2009), ISBN 3-6420-1710-X, Kapitel 4.4.2: "Garben"
  6. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 4: "Affine Schemes", Absatz "Ringed Spaces"
  7. R. Gunning, H. Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kapitel V, Absatz A, Definition 6
  8. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 7: "Operations on Sheaves, Quasi-coherent and Coherent Sheaves"