Geschwindigkeit

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Geschwindigkeit (Begriffsklärung) aufgeführt.
Physikalische Größe
Name Geschwindigkeit
Formelzeichen der Größe v
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI m·s−1 L·T−1
CGS cm · s−1 L·T−1
Planck c c
Siehe auch: Winkelgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit (Formelzeichen: v, von eng. velocity) ist ein Grundbegriff der klassischen Mechanik. Für die Angabe einer Geschwindigkeit ist nicht nur ihr Betrag (anschaulich gesprochen das „Tempo“ einer Bewegung, wie es beispielsweise der Tachometer eines Autos anzeigt), sondern auch die Angabe der Bewegungsrichtung notwendig – es handelt sich also um eine vektorielle Größe. Der Betrag der Geschwindigkeit gibt an, welche Wegstrecke ein Körper innerhalb einer bestimmten Zeitspanne zurücklegt. Die international verwendete Einheit für die Geschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s), gebräuchlich sind auch Kilometer pro Stunde (km/h) und – vor allem in der See- und Luftfahrt – Knoten (kn).

Die höchste mögliche Geschwindigkeit für jedwede Informationsübertragung ist die Lichtgeschwindigkeit c. Physikalische Körper, die eine Masse besitzen, können sich nur mit Geschwindigkeiten bewegen, die geringer als diese sind.

Etymologie[Bearbeiten]

Geschwind (Adjektiv von Geschwindigkeit) 'schnell', mittelhochdeutsch geswinde 'schnell, vorschnell, ungestüm, kühn', mittelniederdeutsch geswint, geswine 'stark' (verstärkte Bedeutung durch das Präfix ge-), mittelhochdeutsch swinde, swint 'gewaltig, stark, heftig, gewandt, schnell, böse, gefährlich'. Althochdeutsches Vorkommen wird durch Namen wie Amalswind, Swindbert, Swinda erwiesen.[1]

Definition [Bearbeiten]

Wegstrecken bei einer Bewegung mit gekrümmter Bahnkurve.
Sonderfall der geradlinigen Bewegung.

Wenn die Bewegung als eindimensional (entlang einer bestimmten Bahnkurve) aufgefasst wird, kann der vektorielle Charakter der Geschwindigkeit außer Acht gelassen und sie wie eine skalare Größe betrachtet werden. Das ist insbesondere bei einer geradlinigen Bewegung der Fall. Die vom Ausgangspunkt A zum Zielpunkt P zurückgelegte Wegstrecke trägt die Bezeichnung s. Zusätzlich betrachtet sei die verstrichene Zeit t bis zum Erreichen des Punktes P. Der Quotient aus beiden ergibt die Durchschnittsgeschwindigkeit.

\bar{v}=\frac{s\left(t\right)}{t}

Für einen Streckenabschnitt \Delta s zwischen den Punkten P1 und P2 wird die Zeitspanne \Delta t benötigt. Hieraus ergibt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit im untersuchten Streckenabschnitt. Diese Definition des Geschwindigkeitsbegriffs geht wohl auf Galileo Galilei zurück. [2]

\bar{v}_{\Delta s}=\frac{s\left({t}_{2}\right)-s\left({t}_{1}\right)}{{t}_{2}-{t}_{1}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}

Durch Reduzieren des Beobachtungszeitraums \Delta t auf ein verschwindend kleines Zeitintervall entsteht ein Grenzwert, den die Mathematik als Differentialquotienten oder Ableitung der Strecke nach der Zeit kennt. Daraus resultiert die Momentangeschwindigkeit

v=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\dot{s}
Ortsvektor und Wegstrecke

Bei einer Bewegung im Raum wird die Bahnkurve durch den sich zeitlich verändernden Ortsvektor {\vec r}\left(t\right) beschrieben. Da jede Ortsänderung eine Richtung aufweist, stellt auch die Geschwindigkeit, die diese Änderung im Bezug zur Zeit charakterisiert, eine vektorielle Größe dar. Die erste Ableitung der Zeit-Ort-Funktion nach der Zeit, oft mit  \dot{\vec {r}}(t) bezeichnet, ist die Momentangeschwindigkeit \vec {v}(t) =\dot{\vec {r}}(t).

{\vec v}=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta {\vec r}}{\Delta t}=\frac{\text{d}{\vec r}}{\text{d}t}=\dot{\vec r}

Der Betrag dieser Geschwindigkeit wird auch als Bahngeschwindigkeit bezeichnet.

v_\text{B} = |\vec{v}|

Beziehungen zu anderen physikalischen Größen[Bearbeiten]

Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung:

\vec {a}(t) = \dot {\vec {v}}(t)= \ddot {\vec {s}}(t)

Die zweite Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ergibt den Ruck einer Bewegung:

\vec {j}(t) = \ddot {\vec {v}}(t) = \dot {\vec {a}}(t)

Der Impuls – also anschaulich gesprochen der „Schwung“ – eines Körpers der Masse m berechnet sich nach

\vec p = m\vec v,

während die kinetische Energie durch

E_\mathrm{kin}=\frac 1 2 m v^2 = \frac {p^2}{2m}

gegeben ist. Streng genommen gelten die letzten beiden Gleichungen nur näherungsweise für den so genannten nichtrelativistischen Fall, also für Geschwindigkeiten, die viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind.

Messung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Geschwindigkeitsmessung

Am einfachsten kann die Geschwindigkeit bestimmt werden, indem man misst

  1. welche Zeit für eine bestimmte Wegstrecke benötigt wird, oder
  2. welche Strecke in einem gegebenen Zeitintervall zurückgelegt wird.

In beiden Fällen wird eigentlich nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit gemessen. Wenn das Weg- bzw. Zeitintervall aber kurz genug gewählt wird oder die Bewegung annähernd gleichförmig ist, kann man mit beiden Methoden befriedigende Genauigkeiten erreichen. Ein Beispiel für die Methode 1 wäre die Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Hippolyte Fizeau. Methode 2 wird unter anderem angewendet, wenn Geschwindigkeitswerte aus GPS-Daten berechnet werden.

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs lässt sich leicht mit einem Tachometer bestimmen. Dieses misst eigentlich die Drehzahl des Rades, welche direkt proportional zur Geschwindigkeit ist.

Es kann aber praktisch jeder andere geschwindigkeitsabhängige Effekt auch für eine Messmethode verwendet werden, so z. B. der Doppler-Effekt im Doppler-Radar, der Impuls im ballistischen Pendel oder der Staudruck in der Prandtlsonde.

Einheiten[Bearbeiten]

SI-Einheit der Geschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s). Eine weitere gebräuchliche Einheit der Geschwindigkeit ist Kilometer pro Stunde (km/h).

In der Alltagssprache wird auch die Bezeichnung „Stundenkilometer“ verwendet. Da in der Physik eine derartige Zusammensetzung zweier Einheiten (hier: „Stunde“ und „Kilometer“) als eine Multiplikation dieser Einheiten verstanden wird, wird der Ausdruck „Stundenkilometer“ in den Naturwissenschaften normalerweise nicht verwendet.

Als nicht metrische Einheit wird vor allem in den USA und einigen anderen englischsprachigen Ländern Meilen pro Stunde (mph) benutzt. In der See- und Luftfahrt ist außerdem die Einheit Knoten (kn) gebräuchlich. Ein Knoten ist eine Seemeile (sm) pro Stunde. Vertikalgeschwindigkeiten in der motorisierten Luftfahrt werden oft in Fuß pro Minute (LFM von engl. linear feet per minute oder nur fpm von engl. feet per minute) angegeben.

Fast nur in der Luftfahrt wird die Mach-Zahl verwendet, die keine absolute Größe angibt, sondern das Verhältnis der Geschwindigkeit zur lokalen Schallgeschwindigkeit angibt. Die Schallgeschwindigkeit ist stark temperaturabhängig aber nicht luftdruckabhängig. Der Grund für die Nutzung dieser Zahl ist, dass aerodynamische Effekte von ihr abhängen.

Umrechnung gebräuchlicher Geschwindigkeitseinheiten:

Meter pro Sekunde Kilometer pro Stunde Knoten (= Seemeilen pro Stunde) Meilen pro Stunde Lichtgeschwindigkeit
1 m/s 00 1 00 3,6 00 1,944 00 2,237 0 3,336 · 10−9
1 km/h 00 0,2778 00 1 00 0,5400 00 0,6215 0 9,266 · 10−10
1 kn 00 0,5144 00 1,852 00 1 00 1,151 0 1,716 · 10−9
1 mph 00 0,4469 00 1,609 00 0,8688 00 1 0 1,491· 10−9
1 c 00 299792458 00 1,079 · 109 00 5,827 · 108 00 6,707 · 108 00 1

Anmerkung: Die fett gedruckten Umrechnungsfaktoren sind exakt, alle anderen auf vier geltende Ziffern gerundet.

Geschwindigkeiten und Bezugssystem [Bearbeiten]

Vorbeifliegendes Flugzeug mit Geschwindigkeit (rot), Radialgeschwindigkeit (grün) und Tangentialgeschwindigkeit (blau)

Je nach verwendetem Bezugssystem bzw. Koordinatensystem haben sich verschiedene Bezeichnungen eingebürgert:

Im homogenen Schwerefeld wird oft ein kartesisches Koordinatensystem verwendet. Geschwindigkeiten, die parallel zur Fallbeschleunigung \vec g gerichtet sind, werden meist als Vertikalgeschwindigkeiten, solche, die orthogonal zu dieser Richtung sind, als Horizontalgeschwindigkeiten bezeichnet.

In bestimmten Fällen, insbesondere bei Kreisbewegungen, bieten sich auch Polarkoordinaten an. Die Radialgeschwindigkeit bezeichnet die Komponente eines Geschwindigkeitsvektors in Richtung des Ortsvektors, also längs der Verbindungslinie zwischen dem bewegten Objekt und dem Koordinatenursprung. Die Umfanggeschwindigkeit oder Tangentialgeschwindigkeit ist senkrecht dazu.[3] Somit ergibt sich:

\vec v={\vec v}_{\perp }+{\vec v}_\mathrm{r}

Das Vektorprodukt aus der Winkelgeschwindigkeit und dem Ortsvektor ergibt die Tangentialgeschwindigkeit.

{\vec v}_{\perp }=\vec \omega \times \vec r

Bei Bewegungen auf einer Kreisbahn, aber auch nur in diesem Fall, ist die Radialgeschwindigkeit null und die Tangentialgeschwindigkeit die Geschwindigkeit längs der Tangente an die Bahnkurve.

Aus der Änderung des Abstands zum Koordinatenursprung (Radius) folgt die Radialgeschwindigkeit.

{\vec v}_\mathrm{r}=\dot{r}\,\frac {\vec r}{|\vec r|}

Setzt man voraus, dass es ein allgemein gültiges Bezugssystem gibt, so nennt man die Geschwindigkeiten, die in diesem System gemessen werden, Absolutgeschwindigkeiten. Geschwindigkeiten, die sich auf einen Punkt beziehen, der sich selbst in diesem System bewegt, heißen Relativgeschwindigkeiten. Beispiel: Eine Straßenbahn fährt mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h. Darin bewegt sich ein Fahrgast mit einer Relativgeschwindigkeit (gegenüber der Straßenbahn) von 5 km/h. Seine Absolutgeschwindigkeit (vom ruhenden Beobachter auf der Straße aus gesehen) beträgt also 55 km/h oder 45 km/h, je nachdem, ob er sich in Fahrtrichtung oder gegen die Fahrtrichtung bewegt.

Das Relativitätsprinzip besagt jedoch, dass es keinen physikalischen Grund gibt, warum man ein bestimmtes Bezugssystem herausgreifen und gegenüber anderen Systemen bevorzugen sollte. Sämtliche physikalischen Gesetze, die in einem Inertialsystem gelten, gelten auch in jedem anderen. Welche Bewegungen man als „absolut“ ansieht, ist also vollkommen willkürlich. Deswegen wird der Begriff der Absolutgeschwindigkeit spätestens seit der speziellen Relativitätstheorie vermieden. Stattdessen sind alle Geschwindigkeiten Relativgeschwindigkeiten. Aus diesem Relativitätsprinzip folgt, zusammen mit der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit, dass Geschwindigkeiten nicht – wie im obigen Beispiel stillschweigend angenommen – einfach addiert werden dürfen. Stattdessen gilt das relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten. Dies macht sich jedoch erst bei sehr hohen Geschwindigkeiten bemerkbar.

Geschwindigkeit zahlreicher Teilchen[Bearbeiten]

Temperaturabhängigkeit der Geschwindigkeitsverteilung für Stickstoff

Betrachtet man ein System aus vielen Teilchen, so ist es meist nicht mehr möglich für jedes individuelle Teilchen eine bestimmte Geschwindigkeit anzugeben. Stattdessen ergibt sich eine Geschwindigkeitsverteilung. Diese gibt an, wie häufig ein Geschwindigkeitsbetrag in dem Teilchenensemble auftritt. In einem idealen Gas gilt beispielsweise die Maxwell-Boltzmann-Verteilung (siehe nebenstehende Abbildung): Sehr kleine Geschwindigkeiten werden nur von ganz wenigen Teilchen angenommen. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit – das Maximum der Maxwell-Boltzmann-Verteilung – ist stark temperaturabhängig. Je heißer das Gas ist, desto mehr Teilchen erreichen hohe Geschwindigkeiten. Dies deckt sich mit der Aussage, dass die Temperatur ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Gasteilchen ist. Dabei sind auch bei niedrigen Temperaturen sehr hohe Geschwindigkeiten nicht vollständig ausgeschlossen. Damit lassen sich manche physikalische Phänomene erklären, wie z. B. das Diffusionsverhalten von Gasen.

Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids[Bearbeiten]

Siehe auch: Strömungsfeld

Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit eines Gases oder einer Flüssigkeit v_\mathrm A ergibt sich aus der Volumenstromstärke Q=\tfrac{\mathrm d V}{\mathrm d t} durch den Strömungsquerschnitt A:

v_\mathrm A=\frac Q A

Allerdings können sich die lokalen Strömungsgeschwindigkeiten sehr stark von einander unterscheiden. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit in der Mitte eines idealen Rohres am größten und fällt durch die Reibung zur Wandung hin bis auf Null ab. Man muss daher die Strömung eines Mediums als Vektorfeld auffassen. Wenn die Geschwindigkeitsvektoren zeitlich konstant sind, spricht man von einer stationären Strömung. Verhalten sich die Geschwindigkeiten im Gegensatz dazu chaotisch, so handelt es sich um eine turbulente Strömung. Bei der Charakterisierung des Strömungsverhaltens hilft die Reynoldszahl, die die Strömungsgeschwindigkeit in Relation zu der Abmessungen des angeströmten Körpers und zur Viskosität des Fluids setzt.

Mathematisch wird das Verhalten der Geschwindigkeiten durch die Navier-Stokes-Gleichungen modelliert, die als Differenzialgleichungen die Geschwindigkeitsvektoren mit inneren und äußeren Kräften in Beziehung setzen. Damit haben sie für die Bewegung eines Fluids eine ähnliche Bedeutung wie die Grundgleichung der Mechanik für Massenpunkte und starre Körper.

Geschwindigkeit von Wellen[Bearbeiten]

Der rote Punkt bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit, und die grünen Punkte mit Gruppengeschwindigkeit.

Die komplexe Bewegung von Wellen macht es nötig, verschiedene Geschwindigkeitsbegriffe zu verwenden. (Insbesondere kann mit dem Wort Ausbreitungsgeschwindigkeit verschiedenes gemeint sein.)

  • Die Auslenkungsgeschwindigkeit mechanischer Wellen wird als Schnelle bezeichnet. Das bekannteste Beispiel ist die Schwingungsgeschwindigkeit der Luftteilchen in einer Schallwelle.
  • Die Geschwindigkeit, mit der sich ein Punkt bestimmter Phase vorwärts bewegt, heißt Phasengeschwindigkeit. Es gilt: v_\mathrm P = \frac \lambda T = \frac \omega k. Hierbei sind \lambda die Wellenlänge, T die Periodendauer, \omega die Kreisfrequenz und k die Kreiswellenzahl. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenkämme im Meer fortbewegen, ist ein typisches Beispiel für eine Phasengeschwindigkeit.
  • Die Geschwindigkeit, mit der sich ein ganzes Wellenpaket bewegt, wird Gruppengeschwindigkeit genannt: v_\mathrm{g} = \frac {\partial\mathbf\omega}{\partial\mathbf k}.

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit stimmen nur in seltenen Fällen überein (z. B. Ausbreitung von Licht im Vakuum). In der Regel unterscheiden sie sich. Ein anschauliches extremes Beispiel ist die Fortbewegung von Schlangen: Fasst man die Schlange als eine Welle auf, so ist die Geschwindigkeit ihres Vorankommens eine Gruppengeschwindigkeit. Die Phasengeschwindigkeit ist beim Schlängeln jedoch Null, denn die Stellen, an denen sich der Körper der Schlange nach rechts oder links krümmt, sind durch den Untergrund vorgegeben und bewegen sich nicht über den Boden.

In aller Regel ist die Phasengeschwindigkeit einer physikalischen Welle von der Frequenz bzw. der Kreiswellenzahl abhängig. Diesen Effekt bezeichnet man als Dispersion. Er ist unter anderem dafür verantwortlich, dass Licht verschiedener Wellenlänge von einem Prisma unterschiedlich stark gebrochen wird.

Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Aus den Gesetzen der klassischen Physik folgt für Geschwindigkeiten unter anderem:

  1. Die Messwerte für Längen und Zeiten sind unabhängig vom Bewegungszustand (und damit der Geschwindigkeit) des Beobachters. Insbesondere stimmen alle Beobachter darin überein, ob zwei Ereignisse gleichzeitig stattfinden oder nicht.
  2. Bei einem Wechsel des Bezugssystems gilt die Galilei-Transformation. Dies bedeutet, dass Geschwindigkeiten von Bewegungen, die sich überlagern, vektoriell addiert werden dürfen.
  3. Es gibt keine theoretische Obergrenze für die Geschwindigkeit von Bewegungen.
  4. Zwar wird es von den Gesetzen der klassischen Physik nicht verlangt, aber es wurde vor Einstein allgemein angenommen, dass es für alle Geschwindigkeiten ein universelles Bezugssystem, den „Äther“, gebe. Wenn dem so wäre, müsste die Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen vom Bewegungszustand des Empfängers abhängen.

Letztere Abhängigkeit ließ sich mit dem Michelson-Morley-Experiment nicht nachweisen. Einstein postulierte, dass das Relativitätsprinzip, das bereits aus der klassischen Mechanik bekannt war, auch auf alle anderen Phänomene der Physik, insbesondere die Ausbreitung des Lichts, angewendet werden müsse, und dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom Bewegungszustand des Senders sei. Daraus folgerte er, dass die oben genannten Aussagen der klassischen Mechanik modifiziert werden müssen.[4] Im Detail heißt dies:

  1. Die Messwerte für Längen und Zeiten sind abhängig vom Bewegungszustand (und damit der Geschwindigkeit) des Beobachters (siehe Zeitdilatation und Längenkontraktion). Auch die Gleichzeitigkeit ist relativ.
  2. Bei einem Wechsel des Bezugssystems gilt die Lorentz-Transformation. Dies bedeutet, dass Geschwindigkeiten von Bewegungen, die sich überlagern, nicht einfach vektoriell addiert werden dürfen.
  3. Bewegungen von Körpern können nur mit Geschwindigkeiten erfolgen, die geringer als die Lichtgeschwindigkeit sind. Auch Informationen können nicht schneller als das Licht übertragen werden.
  4. Es gibt keinen „Äther“.

Die Effekte, die sich aus der speziellen Relativitätstheorie ergeben, machen sich jedoch erst bei sehr hohen Geschwindigkeiten bemerkbar. Der Lorentz-Faktor, der für Zeitdilatation und Längenkontraktion maßgeblich ist, ergibt erst für Geschwindigkeiten von v>\mathrm{4,2 \cdot 10^7 \, \tfrac m s} eine Abweichung von mehr als einem Prozent. Folglich stellt die klassische Mechanik selbst für die schnellsten bisher gebauten Raumfahrzeuge eine äußerst präzise Näherung dar.

Siehe auch[Bearbeiten]

Anmerkungen und Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wolfgang Pfeifer, Etymologisches Wörterbuch des Deutschen, dtv, 5. Auflage 2000, S. 438.
  2. Galileo Galilei: Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla mecanica ed i movimenti locali, Leiden 1638
  3. Dies gilt nur bei Kreisbewegungen. Bei anderen Bahnkurven, z. B. Ellipsen, schließen die Tangentialgeschwindigkeit und die Radialgeschwindigkeit keinen rechten Winkel ein.
  4. Albert Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. In: Annalen der Physik und Chemie. 17, 1905, S. 891–921 (als Faksimile; PDF; 2,0 MB)

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Geschwindigkeit – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Geschwindigkeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikibooks: Formelsammlung Mechanik – Lern- und Lehrmaterialien