Gestreckte Exponentialfunktion

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Gestreckte Exponentialfunktion \beta=\mbox{2/5}=0{,}4 (blau); gewöhnliche Exponentialfunktion mit \beta=1 (schwarz); gestauchte Exponentialfunktion mit \beta=\mbox{5/2}=2{,}5 (rot).

Die als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnete mathematische Funktion ist eine Verallgemeinerung der Exponentialfunktion mit einem zusätzlichen Parameter \beta>0 im Exponenten:

\phi(t) = e^{-\left( t /\tau \right)^\beta }

oder, mit \alpha=\tau^{-\beta}:

\phi(t) = e^{-\alpha\,t^\beta }.

In den meisten Anwendungen ist \beta<1, was mit der namensgebenden Streckung einhergeht: die Funktion fällt langsamer ab als die gewöhnliche Exponentialfunktion mit \beta=1. Für \beta>1 erhält man die gestauchte Exponentialfunktion, für \beta=2 die Gaußfunktion. Anwendung ist unter anderem die Weibull-Verteilung.

Die gestreckte Exponentialfunktion wurde 1854 von Rudolf Kohlrausch eingeführt, um die Relaxation der elektrischen Polarisation eines Kondensators mit Glasdielektrikum zu beschreiben.[1]

Die gestreckte Exponentialfunktion wird auch als Kohlrausch-Funktion oder Kohlrausch-Williams-Watts-Funktion, nach Graham Williams und David C. Watts bezeichnet.[2]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. R. Kohlrausch: Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche. In: Annalen der Physik und Chemie Bd. 91, 1854, S. 56–82, 179–214; online (S. 56–82) online (S. 179–214).
  2. G. Williams, D. C. Watts: Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behaviour Arising from a Simple Empirical Decay Function. In: Transactions of the Faraday Society Bd. 66, 1970, S. 80–85; doi:10.1039/TF9706600080