Gleichgradige Integrierbarkeit

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Die gleichgradige Integrierbarkeit ist in der Mathematik eine Verstärkung des Begriffs der Integrierbarkeit. Im Gegensatz zur Integrierbarkeit ist sie immer eine Eigenschaft einer Familie von Funktionen und nicht die einer einzelnen Funktion. Allerdings kann die Familie auch einelementig sein. Die gleichgradige Integrierbarkeit ist vor allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie von Bedeutung, da sie es ermöglicht, eine Verbindung von der Konvergenz im p-ten Mittel zu der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Konvergenz nach Maß der Maßtheorie zu schlagen. Anschaulich ist eine Familie von Funktionen dann gleichgradig integrierbar, wenn das Integral über „kleinen“ Mengen auch keine zu großen Werte annimmt.

Definition[Bearbeiten]

Sei  (\Omega, \mathcal A, \mu) ein Maßraum mit Maß  \mu und sei  \mathcal L^1 (\mu) die Menge der bezüglich dieses Maßes integrierbaren Funktionen. Der Positivteil einer Funktion sei mit  f^+:=\max \{0,f\} bezeichnet.

Für allgemeine Maße[Bearbeiten]

Eine Familie  \mathcal F \subset \mathcal L^1 (\mu) von Funktionen heißt gleichgradig integrierbar, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Definitionen erfüllt:

  • Für alle positiven Funktionen  g \in \mathcal L^1 (\mu) gilt
 \inf_{g \geq 0} \sup_{f \in \mathcal F } \int_{\{|f|> g\}} \vert f\vert \mathrm d \mu =0 .
  • Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
  1. Es ist  \sup_{f \in F} \int \vert f\vert \mathrm d \mu < \infty
  2. Es existiert eine integierbare Funktion  h \in \mathcal L^1 (\mu) , so dass für beliebiges  \varepsilon > 0 ein  \delta ( \varepsilon ) > 0 existiert, so dass für jede Menge  A \in \mathcal A mit
 \int_A h  \; \mathrm d \mu < \delta (\varepsilon)
gilt, dass
 \sup_{f \in \mathcal F} \int |f|  \;\mathrm d \mu \leq \varepsilon
ist.
  • Für jede positive Funktion  g \in \mathcal L^1 (\mu) gilt
 \inf_{g \geq 0} \sup_{f \in \mathcal F } \int (\vert f\vert - g)^+ \mathrm d \mu =0 .

Für endliche Maße[Bearbeiten]

Ist das Maß endlich, ist also  \mu(\Omega)< \infty , so vereinfachen sich die Definitionen. Die Familie heißt dann gleichgradig integrierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Definitionen zutrifft:

  • Es ist
\inf_{a \in [0, \infty)}\sup_{f \in \mathcal F} \int (|f|-a)^+ \mathrm d \mu =0
  • Es ist
\inf_{a \in [0, \infty)}\sup_{f \in \mathcal F} \int_{\{a < |f|\}} |f| \mathrm d \mu =0
  • Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
  1. Es ist  \sup_{f \in \mathcal F} \int \vert f\vert \mathrm d \mu < \infty .
  2. Für beliebiges  \varepsilon > 0 existiert ein  \delta ( \varepsilon ) > 0 , so dass für alle  A \in \mathcal A mit  \mu (A) < \delta ( \varepsilon )
 \sup_{f \in \mathcal F } \int_A |f| \mathrm d \mu \leq \varepsilon
gilt.

Gleichgradig integrierbar im p-ten Mittel[Bearbeiten]

Eine Familie von Funktionen  (f_i)_{i \in I} heißt gleichgradig integrierbar im p-ten Mittel, wenn die Familie  (|f_i|^p)_{i \in I } gleichgradig integrierbar ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Jede endliche Menge \mathcal{F} \subset \mathcal{L}^1(\mu) ist gleichgradig integrierbar.
  • Sei  \mathcal F, \mathcal G Familien von Funktionen und sei  \mathcal F gleichgradig integrierbar. Existiert zu jedem  g \in \mathcal G ein  f \in \mathcal F , so dass  \vert g \vert \leq  \vert f \vert , so ist auch  \mathcal G gleichgradig integrierbar.
  • Existiert ein g\in L^1(\mu), sodass |f|\le |g| für alle f\in\mathcal{F}, so ist \mathcal{F} gleichgradig integrierbar. Dies ist ein direkter Spezialfall der beiden Oberen Eigenschaften
  • Eine Folge f_n von messbaren Funktionen konvergiert genau dann im Mittel, also bezüglich der L^1-Norm gegen eine Funktion f, wenn sie dem Maße nach konvergiert und gleichgradig integrierbar ist.
  • Allgemeiner konvergiert eine Folge f_n von messbaren Funktionen genau dann im p-ten Mittel, also bezüglich der L^p-Norm gegen eine Funktion f, wenn sie dem Maße nach konvergiert und im p-ten Mittel gleichgradig integrierbar ist.
  • Sind  \mathcal F, \mathcal G gleichgradig integrierbare Familien, so sind auch  \mathcal F + \mathcal G ,  \mathcal F - \mathcal G und  \vert \mathcal F \vert gleichgradig integrierbare Familien. Die Operationen sind dabei immer Elementweise zu verstehen.

Literatur[Bearbeiten]