Gleichseitiges Dreieck

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01-Dreieck, gleichseitig-1.svg

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten bzw. Kanten sowie drei gleichen Winkeln von jeweils 60°. Ein gleichseitiges Dreieck wird auch als regelmäßiges Dreieck bezeichnet und zählt zu den regelmäßigen Polygonen. Alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich. Gleichseitige Dreiecke sind rotationssymmetrisch (Drehung um den Mittelpunkt um 360°/3 = 120° oder Vielfache davon), spiegelsymmetrisch (bzgl. der drei Mittelsenkrechten) und spitzwinklig. Ihre Isometriegruppe ist die Diedergruppe D3. Mit gleichseitigen Dreiecken ist die lückenlose Parkettierung einer Ebene möglich.

Berechnung und Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein gleichseitiges Dreieck ist durch eine Seitenlänge vollständig bestimmt (siehe Kongruenzsatz).

Gleichseitiges Dreieck mit dessen Größen
Formeln zum gleichseitigen Dreieck
Seitenlängen
Winkel
Höhe
Flächeninhalt
Umfang
Umkreisradius
Inkreisradius

Die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks mit Zirkel und Lineal ist oft einfach. Ist die Seitenlänge bzw. eine Seite als Strecke vorgegeben, so zeichnet man um die beiden Endpunkte der Strecke jeweils einen Kreis, dessen Radius die Strecke selbst ist. Jeder der beiden Schnittpunkte der Kreise bildet mit den Endpunkten der vorgegeben Strecke ein gleichseitiges Dreieck.[1] Ist stattdessen der Umkreis des gleichseitigen Dreiecks vorgegeben, so konstruiert man zunächst ein Achsenkreuz im Mittelpunkt des Kreises. Die vertikale Achse besitzt dann mit dem Umkreis die Schnittpunkte C und D. Anschließend wird ein Kreisbogen mit dem Radius des Umkreises um den Punkt D gezeichnet. Auf dem Umkreis ergeben sich damit die Schnittpunkte A und B. Werden nun die Punkte A und B mit einer geraden Linie verbunden, entsteht die erste Seite des gesuchten gleichseitigen Dreiecks ABC.[2]

Gleichseitiges Dreieck, Seitenlänge vorgegeben Gleichseitiges Dreieck, Umkreis vorgegeben
Gleichseitiges Dreieck,
Seitenlänge vorgegeben
Gleichseitiges Dreieck,
Umkreis vorgegeben

Ausgezeichnete Punkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im gleichseitigen Dreieck fallen Höhe, Mittelsenkrechte (Seitensymmetrale), Seitenhalbierende (Schwerelinie) und Winkelhalbierende zu einer Seite jeweils zusammen. Daher sind auch der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt derselbe Punkt. Dieser Mittelpunkt teilt die Strecken im Verhältnis 2:1.

Spezielle gleichseitige Dreiecke und Lehrsätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruiert man über den Seiten eines beliebigen Dreiecks gleichseitige Dreiecke, so bilden die drei Schwerpunkte dieser gleichseitigen Dreiecke ein weiteres gleichseitiges Dreieck, das sogenannte Napoleon-Dreieck. Die Eigenschaft, dass die drei Schwerpunkte unabhängig von der Form des Ausgangsdreiecks immer ein gleichseitiges Dreieck bilden wird auch als Satz von Napoleon bezeichnet.

Das Morley-Dreieck ist ein weiteres gleichseitiges Dreieck, das aus einen beliebigen Dreieck durch bestimmte Konstruktionsvorschrift entsteht. Die Eigenschaft, dass man dabei immer ein gleichseitiges Dreieck erhält wird entsprechend als Satz von Morley bezeichnet.

Der Satz von Viviani besagt für einen Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks, dass die Summe der Abstände des Punktes von den Dreiecksseiten der Länge der Höhe des Dreiecks entspricht.

Der Satz von Möbius-Pompeiu stellt für ein gleichseitiges Dreieck und einen beliebigen Punkt, der nicht auf dessen Umkreis liegt, fest, dass die Längen der drei Verbindungsstrecken des Punktes zu den Eckpunkten des Dreiecks stets die Dreiecksungleichung erfüllen, das heißt, dass ein Dreieck mit diesen Seitenlängen konstruiert werden kann. Liegt der Punkt auf dem Umkreis des gleichseitigen Dreiecks, so enthält man ein entartetes Dreieck und Länge der längsten Verbindungsstrecke entspricht der Summe der Längen der beiden kürzeren Verbindungsstrecken. Letztere Aussage nennt man auch den Satz von van Schooten.

Begriffsgeschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach Euklid wurde ein gleichschenkliges Dreieck dadurch definiert, dass es nur zwei gleich lange Seiten besitzt,[3] wohingegen es heute überwiegend als ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten definiert wird. Die moderne Definition schließt damit, im Gegensatz zu der des Euklid, das gleichseitige Dreieck[4] als einen Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ein.[5]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Gleichseitiges Dreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wikibooks: Gleichseitiges Dreieck – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, acht Bücher, ... Hrsg.: In der Buchhandlung des Hallischen Waisenhauses. Halle/ Berlin 1818, S. 5 (Erstes Buch, Der 1. Satz. Aufgabe. ... [abgerufen am 15. März 2017]).
  2. Johannes Kepler: Weltharmonik. übersetzt und eingeleitet von Max Caspar. 1939, XXXVIII. Satz: Seiten des Dreiecks ..., S. 37. (Neuauflage: Verlag R. Oldenbourg, München 2006. eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  3. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, acht Bücher, ... Hrsg.: In der Buchhandlung des Hallischen Waisenhauses. Halle und Berlin 1818, S. 3 (Erstes Buch, Erklärungen, 25. ... [abgerufen am 15. März 2017]).
  4. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, acht Bücher, ... Hrsg.: In der Buchhandlung des Hallischen Waisenhauses. Halle und Berlin 1818, S. 3 (Erstes Buch, Erklärungen, 24. ... [abgerufen am 15. März 2017]).
  5. Saul Stahl: Geometry from Euclid to Knots. Prentice-Hall, 2003, ISBN 0-13-032927-4, S. 37 (eingeschränkte Vorschau)