Globaler Körper

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Globale Körper sind die zentralen Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Der bekannteste globale Körper ist der der rationalen Zahlen. Demgegenüber entstehen lokale Körper durch Vervollständigungen globaler Körper.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als globale Körper bezeichnet man

Die Vervollständigungen globaler Körper an jeder Stelle bezüglich ihrer jeweiligen Metriken sind lokale Körper. Dass sowohl Zahlkörper als auch Funktionenkörper globale Körper sind drückt eine schon seit dem 19. Jahrhundert (Richard Dedekind u. a.) bekannte Analogie zwischen Zahl- und Funktionenkörpern aus. Diese ermöglicht es für den schwierigeren Zahlkörperfall häufig mit Methoden zu arbeiten, die im Funktionenkörperfall entwickelt wurden und dort eine natürliche geometrische Interpretation haben.

Axiomatische Charakterisierung nach Artin und Whaples[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Körper mit einer Menge von Primstellen , sodass folgende Axiome erfüllt sind.

  • Für alle ist für fast alle und es gilt (Produktformel).
  • Es gibt ein , sodass ein lokaler Körper ist.

Dann ist ein globaler Körper und besteht aus allen Primstellen von .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]