Grad (Graphentheorie)

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Grad (auch Knotengrad oder Valenz) ist ein grundlegender Begriff der Graphentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Der Grad eines Knotens ist die Anzahl von Kanten, die an ihn angrenzen. Dabei werden Schlingen doppelt gezählt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ungerichtete Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein ungerichteter Graph. Die Knoten sind mit ihrem Grad beschriftet.

In einem ungerichteten Graphen ist für jeden Knoten der Grad definiert als

Statt wird oft auch die Notation (engl. degree) verwendet. Der Index kann weggelassen werden, falls klar ist, um welchen Graphen es sich handelt.

Den kleinsten Grad eines Knotens in nennt man den Minimalgrad von und bezeichnet diesen mit , den größten Grad eines Knotens in nennt man den Maximalgrad von , dieser wird meist mit bezeichnet. Der Durchschnitt aller Knotengrade von wird Durchschnittsgrad genannt und mit bezeichnet.

Gerichtete Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein gerichteter Graph mit beschrifteten Knoten: (Eingangsgrad, Ausgangsgrad)

In einem gerichteten Graphen wird unterschieden, ob eine Kante an einem Knoten beginnt oder endet. Mit bezeichnet man den Eingangsgrad des Knotens in einem gerichteten Graphen und mit dessen Ausgangsgrad.

Dabei ist in

  • Graphen ohne Mehrfachkanten die Anzahl der Vorgänger von ,
  • Graphen mit Mehrfachkanten die Summe der Vielfachheiten aller Kanten in der Form .

und in

  • Graphen ohne Mehrfachkanten die Anzahl der Nachfolger von ,
  • Graphen mit Mehrfachkanten die Summe der Vielfachheiten aller Kanten in der Form .

Einen Knoten ohne Eingangskanten () nennt man Quelle, einen Knoten ohne Ausgangskanten () nennt man Senke.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Man nennt einen Knoten isoliert, wenn er:
    • in einem ungerichteten Graphen: keine Nachbarn besitzt .
    • in einem gerichteten Graphen: keine Vorgänger und keine Nachfolger besitzt. .
  • Ein ungerichteter Graph (bzw. Hypergraph) heißt regulär, falls alle seine Knoten denselben Grad besitzen. Besitzen alle seine Knoten Grad , so bezeichnet man als k-regulär. Einen 3-regulären Graphen bezeichnet man auch als kubisch.
  • Ein gerichteter Graph heißt regulär, falls alle seine Knoten denselben Eingangs- und Ausgangsgrad besitzen. Besitzen alle seine Knoten Eingangs- und Ausgangsgrad , so bezeichnet man als k-regulär.
  • Ein Hypergraph heißt uniform, wenn alle Kanten von die gleiche Anzahl Knoten enthalten. Enthalten alle Kanten von genau Knoten, so nennt man k-uniform.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Stets gilt . Gleichheit tritt z. B. bei vollständigen Graphen, allgemein bei regulären Graphen ein.
  • Die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad ist stets gerade.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Grad gehört zu den Grundbegriffen der Graphentheorie und liefert viele wichtige Abschätzungen für Grapheneigenschaften wie z. B. die Kantenfärbungszahl

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]