Grahams Zahl

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Grahams Zahl (nach Ronald L. Graham) ist eine spezielle natürliche Zahl. Sie ist eine obere Grenze für ein Problem der Ramsey-Theorie.

Laut Guinness-Buch der Rekorde ist sie die größte jemals in einem mathematischen Beweis verwendete Zahl. In der Zwischenzeit kamen aber in einigen ernsthaften mathematischen Beweisen noch wesentlich größere Zahlen vor, zum Beispiel im Zusammenhang mit Kruskals Baum-Theorem.

Grahams Problemstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem n-dimensionalen Hyperwürfel (Einheitswürfel im n-dimensionalen Euklidischen Raum) seien alle Ecken (Knoten) je paarweise durch eine Linie (Kante) verbunden, so dass ein vollständiger Graph auf Knoten mit Kanten entsteht.

Diese Kanten werden nun mit jeweils einer von zwei Farben eingefärbt. Die Frage ist dann, ob es einen vollständigen Teilgraphen aus vier in einer Ebene des Euklidischen Raums liegenden Knoten gibt, dessen sechs Kanten alle die gleiche Farbe haben.

In niedrigen Dimensionen gibt es Kantenfärbungen, wo dies nicht gilt. Bei besteht der Gesamtgraph nur aus einer Ebene mit vier Knoten. Färbt man diesen mit unterschiedlichen Farben, so besteht der einzige Teilgraph, nämlich der Gesamtgraph selbst, nicht aus sechs Kanten gleicher Farbe. Existiert andererseits eine Dimension , in der für jede mögliche Kantenfärbung des Hyperwürfels ein Teilgraph mit diesen Eigenschaften existiert, so gilt dies auch für jede höhere Dimension , da der Hyperwürfel einer höheren Dimension einen Hyperwürfel der Dimension als Teilgraphen enthält, in dem der Teilgraph mit sechs gleichfarbigen Kanten zu finden ist.

Daraus ergibt sich die eigentliche Problemstellung: Wie groß ist das , mit dem für alle für jede mögliche Kantenfärbung ein solcher Teilgraph existiert, während es für alle eine Kantenfärbung gibt, die dies verhindert?

Das Problem wurde noch nicht gelöst. Graham und Rothschild haben 1971 gezeigt, dass es einen solchen Wert gibt, und dass ist. Die Zahl wird im nächsten Kapitel definiert. Der Mathematiker Geoffrey Exoo von der Indiana State University zeigte 2003, dass es noch in der Dimension eine Kantenfärbung gibt, die keinen ebenen Teilgraph mit sechs gleichfarbigen Kanten zulässt. 2008 konnte die Untergrenze auf verbessert werden [1], und 2014 die Obergrenze auf eine Zahl kleiner als [2].

Basierend auf unveröffentlichtem Material von Graham, aus dem sich ein Beweis der schwächeren (größeren) oberen Schranke ergibt, bezeichnete Martin Gardner die Zahl als „Grahams Zahl“[3].

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grahams Zahl , und auch die viel kleinere , sind so extrem groß, dass nicht einmal Hilfsmittel wie der Hyperpotenz-Operator ausreichen, um diese Zahlen direkt anzugeben. Die Definition der Zahlen ist aber über eine Folge möglich, die zum Beispiel mit Knuths Pfeilschreibweise dargestellt werden kann. Für natürliche Zahlen definiert man:

In der ersten Zeile wird hierbei die übliche Potenz erklärt. Man beachte, dass der Pfeiloperator nicht assoziativ ist. Der klammerfrei notierte Ausdruck ist – so die Konvention – von rechts nach links abzuarbeiten. Somit ist . Diese Reihenfolge ist auch die, bei der die größten Endergebnisse hervorgebracht werden.

Außerdem definiert man . Statt wird auch das Symbol ^ verwendet.

Mit dieser Notation kann man die Folgen und durch folgende Regeln rekursiv definieren:

aus der ersten Folge ist Grahams Zahl, und aus der zweiten ist die beste bis 2014 bekannte obere Schranke für .

Anders ausgedrückt:

Zur besseren Veranschaulichung, wie extrem groß Grahams Zahl ist, werden die ersten Schritte zur Berechnung von gezeigt:

Bereits lässt sich nicht mehr vernünftig in der üblichen Exponentialdarstellung () oder als Potenzturm ausdrücken. Dazu wäre bereits ein Potenzturm mit 7.625.597.484.986 Exponenten erforderlich.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Trotz ihrer nahezu unvorstellbaren Größe kann man die letzten Stellen von Grahams Zahl mit elementarer Zahlentheorie bestimmen. Die letzten 500 Stellen von Grahams Zahl lauten:

02425950695064738395657479136519351798334535362521
43003540126026771622672160419810652263169355188780
38814483140652526168785095552646051071172000997092
91249544378887496062882911725063001303622934916080
25459461494578871427832350829242102091825896753560
43086993801689249889268099510169055919951195027887
17830837018340236474548882222161573228010132974509
27344594504343300901096928025352751833289884461508
94042482650181938515625357963996189939679054966380
03222348723967018485186439059104575627262464195387

Man kann zeigen, dass in der Verketteten Pfeilschreibweise Grahams Zahl zwischen und liegt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. http://arxiv.org/abs/0811.1055
  2. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0195669814000936
  3. Martin Gardner: Mathematical Games in Scientific American, November 1977, S. 18–28. online