Gravizentrum

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Das Gravizentrum oder der Schwerpunkt eines Körpers bezeichnet das Mittel aller Positionen, gewichtet nach der angreifenden Gravitationskraft im jeweiligen Punkt.

  • Für ein homogenes Gravitationsfeld (z.B. in der Nähe der Erdoberfläche) stimmt das Gravizentrum mit dem Massenmittelpunkt des Körpers überein. Daher werden beide Begriffe häufig undifferenziert als Schwerpunkt bezeichnet.
  • Im allgemeinen Fall inhomogener Gravitationsfelder (dritter Fall unten) sind Gravizentrum und Massenmittelpunkt verschieden. Welcher der beiden Punkte als „Schwerpunkt“ bezeichnet wird, hängt dann vom Autor ab.

Überblick[Bearbeiten]

Bei näherer Betrachtung weist der Begriff des Schwerpunkts als Zentrum der Schwerkraft eine komplexere Struktur auf, als man von der intuitiven Anschauung her - unter vereinfachenden Bedingungen wie konstante Schwerkraft und homogene Dichte - erwartet.

\vec x_s = \frac{g \cdot \rho}{G} \int \vec x \; \mathrm{dV}
mit G = g \cdot \rho \int \mathrm{dV} \;\; \Rightarrow \;\; \vec x_s = \frac{\int \vec x \, \mathrm dV}{V}.
die Subsysteme werden so gewählt, dass ihre Schwerpunkte leicht zu bestimmen sind.
Dabei sind
  • Bei Körpern mit inhomogener Dichte \rho = \rho(\vec x) \neq \mathrm{konst.}, die z.B. unregelmäßig geformt sind, und konstantem Schwerefeld wird der Gesamtschwerpunkt berechnet als das erste Moment der Verteilungsfunktion der Dichte einer Ansammlung im Raum, normiert auf das Gesamtgewicht:
\vec x_s = \frac{g}{G} \int \vec x \cdot \rho(\vec x)\,\mathrm{dV}
mit G = g \int \rho(\vec x)\,\mathrm{dV} \;\; \Rightarrow \;\; \vec x_s = \frac{\int \vec x \cdot \rho(\vec x)\,\mathrm dV}{\int \rho(\vec x)\,\mathrm{dV}}.
In diesem Fall, z.B. näherungsweise auf der Erdoberfläche oder bei Objekten, die so klein sind, dass sich die Schwerkraft im Bereich ihres Volumens nicht merklich ändert, stimmt das Gravizentrum des Systems mit seinem Massenmittelpunkt überein.
  • Ist zusätzlich auch das Gravitationsfeld inhomogen (g = g(\vec x) \neq \mathrm{konst.}), so integriert man nicht über die Dichte (Massen), sondern über die Wichte \rho(\vec x) \cdot g(\vec x):
\vec x_s = \frac{1}{G} \int \vec x \cdot \rho(\vec x) \cdot g(\vec x)\,\mathrm dV
mit \,G = \int \rho(\vec x) \cdot g(\vec x)\,\mathrm dV\ .
Die Verteilungsfunktion ist das Produkt einer externen und einer internen Komponente: die externe wird von der ortsabhängigen Gravitationsbeschleunigung g(\vec x) gebildet, die interne, von der Ansammlung definierte, ist die Dichte. Diese Dichte gibt an, wo wie viel von „dem, was dem betrachteten System zugeordnet wird,“ lokalisiert ist; außerhalb ist sie Null. So beschreibt die Dichtefunktion die Form der Objekte.

Größenordnung der Abweichung von Massenmittelpunkt und Gravizentrum[Bearbeiten]

An der Erdoberfläche ist die Schwerebeschleunigung auf der oberen Seite eines einen Meter großen Würfels um 3·10−7 kleiner als die Schwerebeschleunigung auf der unteren Seite des Würfels. Das bedeutet, dass Massenmittelpunkt und Gravizentrum etwa 1,5 µm voneinander entfernt sind. Für technische Anwendungen sind die Abweichungen so klein, dass sie ohne praktische Bedeutung sind.

In der Astrophysik kann der Unterschied wegen weit größerer Dimensionen jedoch wichtig sein.

Siehe auch[Bearbeiten]