Graziöse Beschriftung

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Eine graziöse Beschriftung eines Graphen mit Kanten ist eine Beschriftung der Knoten mit unterschiedlichen Zahlen zwischen 1 und , sodass dadurch jede Kante eine eindeutige Beschriftungen erhält. Die Beschriftung einer Kante ergibt sich als Differenz der Beschriftungen ihrer beiden Endknoten.[1] Ein Graph, für den eine solche Beschriftung existiert, wird graziöser Graph genannt. Gibt es zusätzlich eine Zahl , sodass ein Knoten einer jeden Kante mit einer Zahl kleiner als und der andere mit einer Zahl größer oder gleich beschriftet ist, dann handelt es sich um eine bipartite Beschriftung.

Die Bezeichnung graziöse Beschriftung geht zurück auf Solomon W. Golomb. Ursprünglich verwendete Alexander Rosa die Bezeichnung β-Bewertung in seinem 1967 veröffentlichten Aufsatz über Graphenbeschriftungen. Bipartite Beschriftungen nannte er α-Bewertungen.[2]

Eines der ungelösten Probleme der Mathematik ist die Graziöser-Baum-Vermutung, der zufolge es für alle Bäume eine graziöse Beschriftung gibt.

Graziöse Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von einigen Klassen von Graphen ist bekannt, dass sie graziös sind. Ein Beispiel sind die linearen Graphen. Eine graziöse Beschriftung entsteht, wenn deren Knoten mit den Zahlen beschriftet werden.

Graceful labeling of linear graphs.svg

Eine entsprechende graziöse Beschriftung für den linearen Graphen mit fünf Knoten zeigt die folgende Zeichnung.

Graceful labeling of P 5.svg

Graphzerlegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgangspunkt für die Betrachtung graziöser Graphen war die Untersuchung von Graphzerlegungen. Ein vollständiger Graph lässt sich zyklisch in Kopien eines graziösen Graphen mit Kanten zerlegen, siehe dazu auch Ringel-Kotzig-Vermutung.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Virginia Vassilevska: Coding and Graceful Labeling of trees. SURF 2001. PostScript
  2. Alexander Rosa: On certain valuations of the vertices of a graph. In: Theory of Graphs. International Symposium. Théorie des graphes. Journées internationales d'étude. Rome, juillet 1966. Gordon and Breach, New York und Dunod Paris, 1967, S. 349–355