Grenzrate der Substitution

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Grenzrate der Substitution (GRS). Die GRS ist in Punkt B höher als in Punkt A. Sie beträgt jeweils Δx2/Δx1 (zu Anschauungszwecken ist das eingezeichnete Δx1 in beiden Fällen gleich).

Als Grenzrate der Substitution (Abkürzung: GRS; Englisch: marginal rate of substitution, MRS) bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre bei einer Zwei-Güter-Betrachtung den Absolutbetrag der Steigung einer Indifferenzkurve. Namensgebend ist die Eigenschaft der GRS, für jeden Punkt auf der Indifferenzkurve anzugeben, in welchem Austauschverhältnis der Haushalt bereit wäre, das zweite Gut gegen das erste auszutauschen (= zu substituieren).

Beispiel[Bearbeiten]

Ein Beispiel wird an dieser Stelle anhand der nebenstehenden Graphik skizziert. Auf einer Indifferenzkurve liegen nach Definition sämtliche Güterkombinationen aus Gut 1 (x1 Einheiten) und Gut 2 (x2 Einheiten), die ein identisches Nutzenniveau \bar{u} stiften.

Betrachtet man nun den Punkt B in der Graphik, so entspricht dieser einer konkreten Mengenkombination aus Einheiten von Gut 1 und Einheiten von Gut 2. Man stelle sich vor, dass einer Konsumentin von Gut 1 eine kleine Menge Δx1 weggenommen wird. Zur Kompensation erhält sie Δx2. Wie man sich anhand der Darstellung klarmachen kann, befindet sich die Konsumentin nach diesem Austausch bei hinreichend kleiner Wahl von Δx1 nach wie vor (approximativ) auf derselben Indifferenzkurve, das heißt der Tausch von Δx1 Einheiten Gut 1 gegen Δx2 Einheiten Gut 2 stellt sie (approximativ) gleich. Das Austauschverhältnis beträgt Δx1/Δx2 und für Δx1→0 handelt es sich hierbei gerade um die (absolute) Steigung der Indifferenzkurve.

Definition[Bearbeiten]

Die GRS von Gut 1 bezüglich Gut 2 im Punkt A (B) entspricht dem Tangens des Winkels α (β). Da tan(α)<tan(β), ist im Beispiel die GRS in A geringer als in B.

Die Definition der Grenzrate der Substitution von Gut 1 bezüglich Gut 2 lautet

\textrm{GRS}_{1,2}(x_{1},x_{2})\equiv\left|f'(x_{1})\right|\left(=\left|\frac{\textrm{d}x_{1}}{\textrm{d}x_{2}}\right|\right)

mit f(x_1) der Funktion der Indifferenzkurve.[1] In einem bestimmten Punkt auf der Indifferenzkurve gilt nach den Gesetzen über die Zusammenhänge trigonometrischer Funktionen in einem rechtwinkligen Dreieck äquivalenterweise auch

\textrm{GRS}_{1,2}(x_{1},x_{2})=\tan(\phi)

mit \phi dem Winkel zwischen der Tangente zur Indifferenzkurve im betrachteten Punkt und der Ordinate (siehe nebenstehendes graphisches Beispiel).[2]

Zusammenhang zur Nutzenfunktion und Eigenschaften[Bearbeiten]

Es ist

\textrm{GRS}_{1,2}(x_{1},x_{2})\equiv |f'(x_1)|=-f'(x_1) =\frac{\partial u(x_{1},x_{2})/\partial x_{1}}{\partial u(x_{1},x_{2})/\partial x_{2}}

das heißt die GRS entspricht dem Verhältnis der Grenznutzen.

Dies kann man wie folgt zeigen: Da f in x_1 fällt, ist f'(\cdot )<0 und somit auch |f'(x_{1})|=-f'(x_{1}), was die vorletzte Gleichung erklärt. Weiter gilt für ein Güterbündel \mathbf{x}=(x_1,x_2), dass die Indifferenzkurve in der (x_1,x_2)-Ebene liegt, sodass man sie direkt als Funktion notieren kann, für die x_2=f(x_1). Damit kann man das Güterbündel als (x_1,f(x_1)) darstellen und es gilt nach Definition der Indifferenzkurve, dass u(x_1,f(x_1))=\overline{u} (konstant). Die Ableitung von u(\cdot ) bezüglich x_{1} lautet nun darüber hinaus

\frac{\partial u(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}}+\frac{\partial u(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}f'(x_{1})=0

(sie entspricht 0 wegen \overline{u}=\mathrm{const}), was zusammen mit \mathit{GRS}=-f'(x_1) exakt auf die aufgeführte Gleichung der GRS führt – was zu zeigen war.[3]

Diese Grenzrate der Substitution ist invariant gegenüber positiv streng monotoner Transformation der Nutzenfunktion.[4]

Das Konzept kann auch für eine größere Zahl von Gütern verwendet werden, wobei dann entsprechend für beliebige Güter a,b:

\mathit{GRS}_{a,b}(\mathbf{x})=\frac{\partial u(\mathbf{x})/\partial x_{a}}{\partial u(\mathbf{x})/\partial x_{b}}.

Die GRS wird üblicherweise als streng monoton fallend angenommen, was (bei einer zweimal differenzierbaren Nutzenfunktion) äquivalent zu der Aussage ist, dass Indifferenzkurven konvex sind und auch unmittelbar mit der Konvexitätsannahme der Präferenzen in der präferenztheoretischen Fundierung korrespondiert. Intuitiv bedeutet dies im Zwei-Güter-Fall, dass man für den Verzicht auf eine marginale Einheit von Gut 2 mit umso mehr Einheiten von Gut 1 kompensiert werden muss, je weniger man von Gut 2 besitzt.

Grenzrate der Faktorsubstitution[Bearbeiten]

Die Grenzrate der Faktorsubstitution (auch Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)) findet Verwendung in der mikroökonomischen Produktions- und Kostenanalyse. Grundidee ist hier, dass ein Produzent mehrere Produktionsfaktoren (vereinfachend meist zwei) bei der Herstellung seines Gutes einsetzen kann. Das Faktoreinsatzverhältnis ist jedoch in den meisten Fällen nicht eindeutig vorgegeben, so dass ein Produktionsfaktor durch einen anderen ersetzt werden kann. Die Grenzrate der Faktorsubstitution (GRTS) gibt dabei an, wie viele zusätzliche Einheiten des einen Faktors (im Beispiel Arbeit, L) benötigt werden, um bei einer Einheit weniger des anderen Faktors (im Beispiel Kapital, K) den gleichen Output zu gewährleisten:

GRTS_{LK}=-\frac{\Delta L}{\Delta K}

Dabei sei \Delta L die zusätzlich eingesetzte Menge Arbeit, \Delta K die weniger eingesetzte Menge Kapital. Da dem Zuwachs beim einen Faktor ein Rückgang beim anderen gegenübersteht, nimmt die Grenzrate der Faktorsubstitution einen negativen Wert an.

Eine Rolle spielt die Grenzrate der Faktorsubstitution unter anderem beim Vergleich unterschiedlicher Produktionsfunktionen.

Intertemporale Grenzrate der Substitution[Bearbeiten]

Bei der Analyse mehrperiodiger Probleme in der Makroökonomik wird oft ebenfalls auf eine Form der Grenzrate der Substitution zurückgegriffen, die die betragsmäßige Steigung der Indifferenzkurve einer intertemporalen Nutzenfunktion angibt; diese Indifferenzkurve setzt dabei etwa in einem Zwei-Perioden-Modell den Konsum in der ersten Periode („jung“, mit Erwerbseinkommen) zu dem in der zweiten („alt“, ohne Erwerbseinkommen) in Beziehung.

Sei etwa U(c_{1},c_{2})=u(c_{1})+\gamma u(c_{2}) die intertemporale Nutzenfunktion eines repräsentativen Agenten mit der intertemporalen Budgetbeschränkung c_{1}+c_{2}/(1+r)\leq y_{1}+y_{2}/(1+r) (mit r dem realen (Welt)zinssatz und y_{t}, t=1,2, dem Einkommen in Periode t); die intertemporale Nutzenfunktion ist wiederum die Summe aus den Periodennutzen u(c_{t}), wobei allerdings der Nutzen in Periode 2 um einen konstanten Diskontfaktor modifiziert wird. Zur Vereinfachung sei unter Verweis auf die Standardannahme eines strikt positiven Grenznutzen des Einkommens angenommen, dass die intertemporale Budgetbeschränkung mit Gleichheit erfüllt ist.

Man erhält für die Budgetbeschränkung durch Umstellen

c_{2}=(1+r)\left(y_{1}+\frac{y_{2}}{1+r}-c_{1}\right)

und damit das vereinfachte Nutzenmaximierungsproblem

\max_{c_{1}}U(c_{1},c_{2})=u(c_{1})+\gamma\cdot u\left[(1+r)\left(y_{1}+\frac{y_{2}}{1+r}-c_{1}\right)\right]

mit Optimalbedingung

u'(c_{1})+\gamma\cdot(-1)\cdot(1+r)\cdot u'(c_{2})=0\Rightarrow\frac{1}{1+r}=\gamma\frac{u'(c_{2})}{u'(c_{1})}.

Man bezeichnet dabei den Ausdruck \gamma u'(c_{2})/u'(c_{1}) als intertemporale Grenzrate der Substitution. Sie bezieht sich im Gegensatz zur überstehend eingeführten GRS auf ein und dasselbe Gut (Konsum), das jedoch potenziell in zwei Perioden „konsumiert“ werden kann und in diesen grundsätzlich einen unterschiedlichen Nutzen stiftet.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg u.a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8.
  • Harald Wiese: Mikroökonomik. Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u.a. 2010, ISBN 978-3-642-11599-8.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 12; Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 28 f.
  2. Vgl. Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 30.
  3. Hierzu Jehle/Reny 2011, S. 18.
  4. Vgl. Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 36.