Gronwallsche Ungleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die gronwallsche Ungleichung ist eine Ungleichung, die es erlaubt, aus der impliziten Information einer Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren ist sie ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von Differential- und Integralgleichungen. Sie ist nach Thomas Hakon Grönwall benannt, der sie im Jahr 1919 bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien ein Intervall sowie stetige Funktionen und . Weiter gelte die Integralungleichung

für alle . Dann gilt die gronwallsche Ungleichung

für alle .

Man beachte, dass die Funktion in der vorausgesetzten Ungleichung noch auf beiden Seiten vorkommt, in der Schlussfolgerung aber nur noch auf der linken Seite, das heißt, man erhält eine echte Abschätzung für .

Spezialfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist monoton steigend so vereinfacht sich die Abschätzung zu

Insbesondere im Fall konstanter Funktionen und lautet die gronwallsche Ungleichung

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei , , und stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem höchstens eine Lösung .

Linear beschränkte Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien , , , und stetig. Weiter gebe es Funktionen derart, dass

für alle . Dann ist jede Lösung von

auf beschränkt.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt

Die gronwallsche Ungleichung impliziert

und daraus ergibt sich folgende Abschätzung gegen eine Konstante:

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]