Gruppenexponent

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponent einer Gruppe die kleinste natürliche Zahl , für die (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente gilt.[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, habe Exponent (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für die primen Restklassengruppen erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
  • Der Gruppenexponent von mit einer Primzahl ist gleich der Gruppenordnung .
  • Der Gruppenexponent von ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
  • Der Körper mit Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung und Gruppenexponent (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
  • Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring und der algebraische Abschluss von , jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik ) in der additiven Verknüpfung.
  • Jedes Element der (unendlichen) Torsionsgruppe hat die endliche Ordnung , wenn gilt und zu teilerfremd ist. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wikiversity. Abgerufen am 13. August 2012.
  2. Matroids Matheplanet. Beitrag No. 7 von Gockel. Abgerufen am 13. August 2012.