Gruppenexponent

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponent \exp(G) einer Gruppe (G, \cdot, e) die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die g^n=e (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente g gilt.[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, G habe Exponent \infty (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für die primen Restklassengruppen (\Z/n\Z)^\times erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
  • Der Gruppenexponent von (\Z/p\Z)^\times mit einer Primzahl p ist gleich der Gruppenordnung p-1.
  • Der Gruppenexponent von (\Z/8\Z)^\times ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
  • Der Körper \mathbb{F}_q mit q=p^k Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung q und Gruppenexponent p (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
  • Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring \mathbb{F}_p [X] und der algebraische Abschluss von \mathbb{F}_p, jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik p) in der additiven Verknüpfung.
  • Jedes Element m/n + \Z der (unendlichen) Torsionsgruppe \Q/\Z hat die endliche Ordnung n, wenn n > 0 gilt und m zu n teilerfremd ist. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist \exp(\Q/\Z) = \infty.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wikiversity. Abgerufen am 13. August 2012.
  2. Matroids Matheplanet. Beitrag No. 7 von Gockel. Abgerufen am 13. August 2012.