Gruppengeschwindigkeit

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Die grünen Punkte bewegen sich mit Gruppengeschwindigkeit,
der rote mit Phasengeschwindigkeit.

Die Gruppengeschwindigkeit v_\mathrm{g} ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Hüllkurve (d. h. der Amplitudenverlauf) eines Wellenpakets fortbewegt:

v_\mathrm{g} = \frac{\partial \omega}{\partial k}

also

Zusammenhänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit der Phasengeschwindigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über eine Fourier-Reihe kann man sich ein Wellenpaket als eine Überlagerung von Einzelwellen verschiedener Frequenzen vorstellen. Die Einzelwellen breiten sich jeweils mit einer bestimmten Phasengeschwindigkeit v_\mathrm{p} aus, die angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen:

v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k} = \lambda \, f

mit

Durch Einsetzen von \omega = v_{\rm p} \cdot k in die Definition der Gruppengeschwindigkeit ergibt sich nach Anwenden der Produktregel die Rayleighsche Beziehung:

v_\mathrm{g} = v_\mathrm{p} + k \frac{\mathrm{\partial}v_\mathrm{p}}{\mathrm{\partial}k}

Mit der Wellenlänge \lambda = 2\pi/k lässt sie sich auch schreiben als:

v_\mathrm{g} = v_\mathrm{p} - \lambda \frac{\mathrm{\partial}v_\mathrm{p}}{\mathrm{\partial}\lambda}

mit der Dispersion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dispersionsrelation \omega(k) beschreibt, wie \omega von k abhängt:

\frac{\omega}k = v_\mathrm{p} = \text{konst.}
\Rightarrow \frac{\partial v_\mathrm{p}}{\partial k} = \frac{\partial v_\mathrm{p}}{\partial \lambda} = 0
so ist die Gruppengeschwindigkeit identisch mit der Phasengeschwindigkeit:
\Rightarrow v_\mathrm{p} = v_\mathrm{g}
und die Form der Einhüllenden bleibt erhalten.
  • Wenn \omega nicht proportional zu k ist:
\frac{\omega}k = v_\mathrm{p} = \text{f}(f) \neq \text{konst.} \Rightarrow v_\mathrm{p} \neq v_\mathrm{g}
liegt Dispersion vor. In diesem Fall verbreitert sich die Hüllkurve des Wellenpakets, während es sich ausbreitet, z. B. bei Signalen in Lichtwellenleitern.

mit der Signalgeschwindigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

in praktisch verlustfreien Medien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Oft stellt man sich die Gruppengeschwindigkeit als die Signalgeschwindigkeit v_s vor, mit der das Wellenpaket Energie oder Information durch den Raum transportiert:

v_s = v_g

Dies stimmt in den meisten Fällen, und zwar immer dann, wenn Verluste vernachlässigt werden können:

in verlustbehafteten Medien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In verlustbehafteten Medien ist die Signalgeschwindigkeit nicht identisch der Gruppengeschwindigkeit:

v_s \neq v_g

Bei Lichtpulsen in stark verlustbehafteten Medien kann die Phasengeschwindigkeit wesentlich größer sein als die Gruppengeschwindigkeit und sogar größer als die Lichtgeschwindigkeit c_0 im Vakuum. Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit ist jedoch nicht möglich, da hierfür ist die Frontgeschwindigkeit entscheidend ist, die niemals Überlichtgeschwindigkeit erreichen kann (s. dazu den Link "Experiment zur Signalübertragung mit „Überlichtgeschwindigkeit“"):

v_s = v_f \leq c_0

Die Frontgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenfronten (d. h. Flächen gleicher Amplitude) und Diskontinuitäten der Welle bewegen. Sie ist definiert als Grenzwert der Phasengeschwindigkeit für unendlich große Kreiswellenzahl:

v_f = \lim_{k \to \infty} v_p

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]