Gruppenkohomologie

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Gruppenkohomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand. Die Gruppenkohomologie von Galoisgruppen wird auch als Galoiskohomologie bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. In der Topologie spielt Gruppenkohomologie als Kohomologie von Eilenberg-MacLane-Räumen eine wichtige Rolle.

Definition als abgeleiteter Funktor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei G eine endliche Gruppe. Der Funktor von der Kategorie der G-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen, der einem Modul A die Untergruppe A^G der unter G invarianten Elemente zuordnet, ist linksexakt. Seine n-te Rechtsableitung ist die n-te Kohomologiegruppe H^n(G, A) von G mit Koeffizienten in einem G-Modul A.

Beziehung zu Ext[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppenkohomologie kann auch mithilfe des Funktors Ext definiert werden:

\mathrm H^n(G,A)=\mathrm{Ext}_{\mathbb Z[G]}^n(\mathbb Z,A);

dabei ist \mathbb Z[G] der Gruppenring von G und \mathbb Z mit der trivialen G-Operation versehen.

Definition über Koketten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors Ext ist ersichtlich, dass die Gruppenkohomologie mithilfe einer einmal gewählten projektiven Auflösung des trivialen G-Moduls berechnet werden kann. Sie kann als (\mathbb Z[G^n], d_n) explizit angegeben werden:

d_n(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)=\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i(\sigma_1,\ldots,\hat\sigma_i,\ldots,\sigma_n);

dabei ist

(\sigma_1,\ldots,\hat\sigma_i,\ldots,\sigma_n):=(\sigma_1,\ldots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\ldots,\sigma_n),

d.h. Index i wird ausgelassen.

Die Gruppenkohomologie ist dann die Kohomologie des Komplexes (C^n,d^n) mit

C^n=\{f\colon G^{n+1}\to A\mid f(\sigma\sigma_1,\ldots,\sigma\sigma_{n+1})=\sigma\cdot f(\sigma_1,\ldots,\sigma_{n+1})\}

und

(d^{n-1}f)(\sigma_1,\ldots,\sigma_{n+1})=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^if(\sigma_1,\ldots,\hat\sigma_i,\ldots,\sigma_{n+1}).

Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene Koketten.

Inhomogene Koketten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bedingung der G-Invarianz der Koketten erlaubt es, die Zahl der Kopien von G um eins zu senken: die Gruppenkohomologie kann auch über den Komplex der inhomogenen Koketten (\tilde C^n,\tilde d^n) definiert werden:

\tilde C^n=\{f\colon G^n\to A\}

und

(\tilde d^{n-1}f)(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)=\sigma_1\cdot f(\sigma_2,\ldots,\sigma_n)+{}
{}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^if(\sigma_1,\ldots,\sigma_i\sigma_{i+1},\ldots,\sigma_n)+(-1)^nf(\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}).

Beispielsweise ist

\mathrm H^1(G,A)=\{c\colon G\to A\mid c(\sigma\tau)=c(\sigma)+\sigma c(\tau)\}/\{c_a(\tau)=\tau a-a\mid a\in A\}.

Die inhomogenen 1-Kozykel

c\colon G\to A,\quad c(\sigma\tau)=c(\sigma)+\sigma c(\tau)

heißen verschränkte Homomorphismen.

Definition über klassifizierende Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppenkohomologie kann äquivalent definiert werden als die Kohomologie des Eilenberg-MacLane-Raumes K(G,1), also des klassifizierenden Raumes der mit der diskreten Topologie versehenen Gruppe:

H^*(G,A)=H^*(K(G,1),A).

Für praktische Berechnungen ist diese Definition oft nützlicher als andere Definitionen.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Geschichte der Gruppenkohomologie beginnt mit einer 1936 veröffentlichten Arbeit von Witold Hurewicz "Beiträge zur Topologie der Deformationen. IV. Asphärische Räume", in der bewiesen wird, dass der Homotopietyp eines asphärischen Raumes nur von seiner Fundamentalgruppe abhängt und man deshalb Gruppenhomologie H_*(\pi) als Kohomologie eines asphärischen Raumes mit Fundamentalgruppe \pi definieren kann. In seiner 1942 veröffentlichten Arbeit "Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe" zeigte Heinz Hopf, dass H_2(\pi) der Kokern der Hurewicz-Abbildung in Grad 2 ist und dass H_2(\pi) aus den Erzeugern und Relationen einer Präsentierung berechnet werden kann. Nach Hopfs Veröffentlichung entwickelte sich das Gebiet in den 40er Jahren durch Arbeiten von Eckmann, Eilenberg-MacLane, Hopf und Freudenthal rasch weiter, Eilenberg und MacLane fanden in ihrer 1945 veröffentlichten Arbeit "Relations between homology and homotopy groups of spaces" die Definition durch die Bar-Auflösung und bald danach wurde auch die allgemeine Definition mittels projektiver Auflösungen gegeben.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  •  David J. Benson: Representations and cohomology II: Cohomology of groups and modules (= Cambridge studies in advanced mathematics. 31). 2 Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63652-3.
  • Kenneth S. Brown: Cohomology of groups (= Graduate Texts in Mathematics 87). Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-90688-6.
  • George Janelidze, Bodo Pareigis, Walter Tholen (Hrsg.): Galois Theory, Hopf Algebras, and Semiabelian Categories (= Fields Institute Communications 43). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3290-5.
  • Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie, B. I-Hochschulskripten, 713/713a*. Bibliographisches Institut, Mannheim-Vienna-Zürich, 1969. x+308 pp. ISBN 978-3-642-17324-0.