Guggenheim-Quadrat

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Guggenheim-Quadrat

Das Guggenheim-Quadrat oder Guggenheim-Schema ist ein Hilfsmittel, um einige einfache, aber grundlegende Beziehungen der Thermodynamik aus dem Gedächtnis heraus aufzustellen. Sie lassen sich sowohl auf die Maxwell-Beziehungen als auch auf die charakteristischen Funktionen anwenden. Verknüpft werden die Entropie S, die innere Energie U, das Volumen V, die freie Energie F, die Temperatur T , die Gibbs-Energie G, der Druck p, und die Enthalpie H.

Verwendung[Bearbeiten]

Charakteristische Funktionen[Bearbeiten]

Um das Differential eines der thermodynamischen Potentiale zu erhalten, ist wie folgt vorzugehen:

  1. Auswahl eines der vier sich an den Kantenmitten befindlichen thermodynamischen Potentiale (U, H, F, G). Für die Relation des Großkanonischen Potentials \Omega bietet sich der Vergleich zur sehr ähnlichen Freien Energie an.
    • Beispiel: Wir suchen das totale Differential der inneren Energie U, also dU.
  2. Die beiden dem Potential an den Ecken gegenüberliegenden Symbole stellen die Koeffizienten der Differentiale dar, die sich an den Ecken neben dem gesuchten Potential befinden.
    • Im Beispiel liegen an den gegenüberliegenden Ecken von U die Größen p (Druck) und T (Temperatur). Das vorläufige Zwischenergebnis ist damit dU = p [\text{Differential}] + T [\text{Differential}].
    • In der p gegenüberliegenden Ecke befindet sich V (Volumen). Dies ist das zu p gehörige Differential; Zwischenergebnis: dU = p dV + T [\text{Differential}].
    • Analog zum vorigen Schritt befindet sich gegenüber T als zugehöriges Differential S (Entropie); dU = p dV + T dS.
  3. Alle Koeffizienten, die sich auf der linken Seite des Quadrates befinden, erhalten ein negatives Vorzeichen.
    • Da sich p auf der linken Seite des Vierecks befindet, erhält es ein Vorzeichen. Zwischenergebnis: dU = - p dV + T dS. (Bemerkung: S liegt zwar auch links, es kommt aber nur als Differential vor und erhält daher kein Vorzeichen. Analog ist bei der Suche nach dH kein Vorzeichen vor den H-Term zu stellen, da es sich auch hier nicht um einen Koeffizienten handelt.)
  4. Zum Schluss wird schließlich stets noch \mu dN addiert.
    • Im Beispiel ergibt sich so das Endergebnis dU = - p dV + T dS + \mu dN.

Maxwell-Relationen[Bearbeiten]

  1. Auszuwählen sind zwei Größen, die an den Ecken einer Seite des Quadrates liegen.
  2. Die die gegenüberliegende Seite begrenzenden Größen bilden den Differentialquotienten der rechten Seite der gesuchten Gleichung. Dabei ist darauf zu achten, dass sie in gleicher Richtung abgelesen werden wie die andere Kante.
    • Gegenüber von S, p befinden sich V und T. Wir haben dS/dp gebildet, also "obere Ecke nach unterer Ecke abgeleitet". Dementsprechend muss auch hier "von oben nach unten" abgeleitet werden (analoges ergibt sich für links/rechts, etwa bei der Suche nach dS/dV). Zwischenergebnis ist also dS/dp = dV/dT.
  3. Differentialquotienten, die sowohl S als auch p enthalten, erhalten ein Vorzeichen, da beide (!) Symbole an der Kante mit dem Minuszeichen liegen.
    • Die linke Seite erhält demnach ein Vorzeichen. Das Endergebnis ist also -dS/dp = dV/dT.
    • Die konstant gehaltene Variable einer Seite ist stets im Nenner der anderen Seite wiederzufinden.

Merksprüche[Bearbeiten]

Zur einfacheren Anwendung sei folgende beispielhafte Auswahl an mehrheitlich humoristischen Merksprüchen angegeben, welche auf jeweils unterschiedliche Art und Weise gelesen die Buchstabenreihenfolge des Quadrats wiedergeben:

  • Good physicists have studied under very fine teachers.
  • Unheimlich viele Forscher trinken gerne Pils hinterm Schreibtisch.
  • Schon unter Varus hatten alle progressiven Germanen Taschenrechner.
  • Gute Physiker haben stets eine Vorliebe für Thermodynamik.

Neben diesen Merksprüchen existieren zahlreiche weitere.

Merkhilfen für drei Freiheitsgrade[Bearbeiten]

Thermodynamisches Oktaeder

Das Guggenheim Quadrat beschreibt Systeme mit zwei Freiheitsgraden. Für drei Freiheitsgrade wurden Merkhilfen in Form der geometrischen Figuren Oktaeder[1][2] und Kuboktaeder[3] beschrieben. Bei diesen sind, im Gegensatz zum Quadrat, die thermodynamischen Potentiale (G, U, H, A, etc.) keine Kanten sondern Flächen.

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Jibamitra Ganguly: Thermodynamics in earth and planetary sciences. 2008, Thermodynamic Square: A Mnemonic Tool, S. 59-60 (Google Books, abgerufen am 15. September 2011).
  •  Wedler, Gerd: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 2 Auflage. VCH, 1985, ISBN 978-3527294817, 2.3.2 - Charakteristische thermodynamische Funktionen, S. 252-256.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. L. T. Klauder, American Journal of Physics, 1968, 36(6), 556-557 doi:10.1119/1.1974977
  2. James M. Phillips, J. Chem. Educ., 1987, 64(8), 674-675 doi:10.1021/ed064p674
  3. Ronald. F. Fox, J. Chem. Educ., 1976, 53(7), 441-442 doi:10.1021/ed053p441