Hénon-Abbildung

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Hénon-Abbildung für die Parameter a=1,4 und b=0,3: hufeisenförmiges Gebilde

Der französische Astronom Michel Hénon fand die folgende 2-dimensionale Abbildung, die sog. Hénon-Abbildung, die aus einer Vereinfachung der zur Lorenz-Gleichung gehörenden Poincaré-Abbildung. Die Lorenz-Gleichung stammte ursprünglich aus der Meteorologie und war eines der ersten dynamischen Systeme, in denen man chaotisches Verhalten gefunden hat. Die Hénon-Abbildung wird beschrieben durch:

mit . Hierbei sind a und b die Kontrollparamenter des Systems.

Die Hénon-Abbildung setzt sich aus insgesamt drei Elementarabbildungen mit k=1,2,3 zusammen:

  • nichtlineare Verbiegung der y-Koordinate: ,
  • Kontraktion der x-Koordinate: für 0<b<1,
  • Spiegelung an der Hauptdiagonalen y=x: .

Es sei noch erwähnt, dass eine weitere wichtige Eigenschaft dieser Abbildung die Selbstähnlichkeit ist. In einfachen Worten ausgedrückt versteht man darunter eine fraktale Vergrößerung eines beliebigen Teilbereichs, der wieder seinem Anfangsobjekt ähnlich ist. Der Attraktor der Hénon-Abbildung ist ein seltsamer Attraktor.