H-Raum

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In der Topologie besteht ein H-Raum aus einem topologischen Raum X (oft als zusammenhängend vorausgesetzt) und einer stetigen Abbildung mit einer Einheit in dem Sinne, dass die Endomorphismen

und

homotop zur identischen Abbildung auf relativ zu sind.

Es gibt auch Definitionen, in denen stärkere oder schwächere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden: Manchmal wird die Homotopie nur relativ , manchmal sogar relativ gefordert. Diese drei Varianten sind äquivalent, wenn CW-Komplex ist.

Der Name H-Raum wurde von Jean-Pierre Serre zu Ehren von Heinz Hopf vorgeschlagen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die multiplikative Struktur eines H-Raums bereichert die Struktur seiner Homologie und Kohomologie. So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhängenden H-Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine Hopf-Algebra. Außerdem kann man auf den Homologiegruppen eines H-Raums das Pontryagin-Produkt erklären.

Die Fundamentalgruppe eines H-Raums ist abelsch: Sei ein H-Raum mit Einheit , und seien und Schleifen mit Basispunkt . Dann können wir eine Abbildung durch erklären. Nun ist homotop zu und zu . Damit entspricht einer Homotopie von der Verkettung von Schleifen zu .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

J. F. Adams hat gezeigt, dass unter den Sphären nur und H-Räume sind; die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf , , (Quaternionen) und (Oktonionen) induziert.

Sei ein unitärer Ring, die Gruppe der invertierbaren Matrizen über und der klassifizierende Raum von . Dann liefert die Plus-Konstruktion einen H-Raum . Seine Fundamentalgruppe ist die Abelisierung von .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.