Hadamard-Matrix

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Eine Hadamard-Matrix vom Grad ist eine -Matrix, die ausschließlich die Zahlen und als Koeffizienten enthält und bei der zudem alle Spalten orthogonal zueinander sind, ebenso alle Zeilen.

Hadamard-Matrizen sind nach dem französischen Mathematiker Jacques Hadamard benannt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Orthogonalität der Zeilen und Spalten folgt für eine Hadamard-Matrix die Beziehung:

Dabei bezeichnet die transponierte Matrix zu und die Einheitsmatrix. Diese Gleichung kann auch zur Definition von Hadamard-Matrizen benutzt werden, da unter allen Matrizen, deren Einträge ausschließlich aus den Zahlen und bestehen, nur Hadamard-Matrizen diese Gleichung erfüllen.

Das Produkt einer Hadamard-Matrix mit einer Permutationsmatrix oder einer vorzeichenbehafteten Permutationsmatrix ergibt wieder eine Hadamard-Matrix.

Es lässt sich zeigen, dass Hadamard-Matrizen nur für , oder mit existieren können.

Enthalten die erste Spalte und die erste Zeile von nur -Einträge, so heißt die Matrix normalisiert.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt verschiedene Methoden, Hadamard-Matrizen zu konstruieren. Zwei davon werden im Folgenden beschrieben:

Konstruktion nach Sylvester[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Konstruktion geht auf den englischen Mathematiker James J. Sylvester zurück. Ist eine Hadamard-Matrix vom Grad , so lässt sich damit folgendermaßen eine Hadamard-Matrix vom Grad konstruieren:

Die Orthogonalitätseigenschaft lässt sich leicht überprüfen:

Walsh-Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Damit ergibt sich zum Beispiel die nach dem Mathematiker Joseph L. Walsh benannte Folge von Matrizen (Walsh-Matrizen):

Die Walsh-Matrizen sind normalisierte Hadamard-Matrizen vom Grad , wobei jede Zeile eine Walsh-Funktion darstellt.

Konstruktion über das Legendre-Symbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man definiert sich bei dieser Konstruktion zunächst die Jacobsthal-Matrix vom Grad (wobei eine ungerade Primzahl ist) mit Hilfe des Legendre-Symbols :

Ist nun mit , so gilt

und

wobei die Einsmatrix bezeichnet, bei der alle Einträge 1 sind. Nun konstruiert man die Hadamard-Matrix vom Grad :

.

Auch hier kann man nachrechnen, dass dies eine Hadamard-Matrix ist (benutze und ):

.

So konstruierte Matrizen heißen Hadamard-Matrizen vom Paley-Typ, nach dem englischen Mathematiker Raymond Paley.

Die Hadamard-Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es wird vermutet (konnte aber noch nicht bewiesen werden), dass zu jeder Zahl wenigstens eine Hadamard-Matrix existiert. Diese Vermutung geht wahrscheinlich auf Paley zurück. Mit den beiden oben genannten Verfahren kann man Hadamard-Matrizen für alle Zahlen der Form oder für eine Primzahl erzeugen. Es gibt weitere Verfahren, allerdings lassen sich damit nicht alle Möglichkeiten abdecken. So wurde bis 2005 noch keine Hadamard-Matrix zu gefunden. 1977 war die Frage noch für ungeklärt.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]