Halbraum

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In der Mathematik ist ein Halbraum eine durch eine Hyperebene begrenzte Teilmenge eines Raumes beliebiger Dimension. Wenn die Hyperebene selbst im Halbraum enthalten ist, heißt dieser abgeschlossen, sonst offen. Der Begriff Halbraum leitet sich daraus ab, dass die begrenzende Hyperebene den Raum in zwei Teile zerlegt. Terminologie und Vorstellung sind eine Verallgemeinerung aus dem dreidimensionalen Anschauungsraum, wo eine Ebene einen Halbraum begrenzt.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spezialfall ℝn[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für und nennt man

eine Hyperebene,

einen abgeschlossenen Halbraum und

einen offenen Halbraum.

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein reeller Vektorraum. Dann heißt für jede Linearform und jedes die Teilmenge

bzw.

ein abgeschlossener bzw. offener Halbraum.

Affine Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine Definition für reelle Vektorräume beliebiger Dimension lässt sich auf endlichdimensionale affine Räume über einem geordneten Körper übertragen. Der übertragene Begriff wird in der synthetischen Geometrie im zweidimensionalen Fall auch auf affine Inzidenzebenen verallgemeinert. → Siehe dazu Seiteneinteilung.

anschauliche Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Auf einer Geraden sind die Hyperebenen genau die Punkte, und ein Halbraum ist somit eine durch einen Punkt abgegrenzte Teilmenge der Gerade . In diesem Spezialfall spricht man auch von einer Halbgeraden.
  • In der Ebene sind die Hyperebenen genau die Geraden, und somit ist ein Halbraum eine durch eine Gerade abgegrenzte Teilmenge des . In diesem Spezialfall spricht man auch von einer Halbebene.
  • Die Hyperebenen des Raums sind genau die Ebenen, und ein Halbraum ist eine durch eine Ebene begrenzte dreidimensionale Teilmenge des Raumes.