Hamilton-Jacobi-Formalismus

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Beim Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) wird im Rahmen der Klassischen Mechanik durch eine besondere kanonische Transformation

eine Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist.

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten Ortskoordinaten , als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

.

Die transformierte Hamilton-Funktion erhält man, indem man zur untransformierten Hamilton-Funktion die partielle Zeitableitung einer erzeugenden Funktion addiert.

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion gewählt, die von den alten Ortskoordinaten und den neuen (konstanten) Impulsen abhängt, so dass

Eingesetzt in ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für :

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen und für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

Die transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, aber das Problem verlagert sich auf das Finden einer passenden Erzeugenden .

Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer kanonischen Transformation zu vereinfachen. Dazu wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

Für konservative Systeme ( nicht explizit zeitabhängig) sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung. Die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit

mit

Für muss gelten

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich

Dies ist die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für konservative Systeme. Sie bestimmt .

Zur Veranschaulichung von wird die totale Zeitableitung berechnet

wegen

Benutzt man nun die Lagrange´schen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion , wobei die kinetische Energie ist, das Potential):

.

Die zeitliche Integration liefert

also ist mit dem Wirkungsintegral identisch.

Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

Beim eindimensionalen Oszillator ist die einzige Konstante der Bewegung. Da ebenfalls konstant sein muss, setzt man , was für alle konservativen Systeme möglich ist.

Durch Integrieren folgt

mit

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

Um die Bewegung in und darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit

Somit

und letztlich

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.