Hankel-Transformation

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Die Hankel-Transformation ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation, welche im Kern auf den Bessel-Funktionen erster Gattung basiert. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Hermann Hankel. Anwendungen liegen unter anderem im Bereich der Bildverarbeitung zur Korrektur von Abbildungsfehlern.[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Hankel-Transformation gibt es unterschiedliche Konventionen, sie zu definieren. Sei eine komplexwertige Funktion und . Dann kann man die Hankel-Transformation der Ordnung von durch

definieren, dabei sind die

Bessel-Funktionen erster Gattung und ist die Gammafunktion. Insofern das Integral existiert, nennt man die Hankel-Transformierte von . Diese Konvention der Hankel-Transformation wird überwiegend in diesem Artikel verwendet. In einzelnen Abschnitten wird jedoch die im Folgenden dargestellte Variante verwendet, worauf in den entsprechenden Abschnitten hingewiesen wird.

Eine andere Möglichkeit die Hankel-Transformation der Ordnung von zu definieren, ist

Hier werden mit ebenfalls die Bessel-Funktionen erster Gattung bezeichnet und heißt auch hier Hankel-Transformierte, insofern das Integral existiert.

Inverse Hankel-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation ist es auch bei der Hankel-Transformation unter gewissen Umständen möglich, aus der Hankel-Transformierten ihre Ausgangsfunktion zurückzugewinnen. Ein wichtiges Resultat aus der Theorie der Hankel-Transformation besagt, dass, falls eine lebesgue-integrierbare Funktion mit beschränkter Variation ist, die Ausgangsfunktion aus der Hankel-Transformierten mit der inversen Integraltransformation

zurückgewonnen werden kann. Die Hankel-Transformation und ihre inverse Transformation sind also gleich. Sie kann daher als involutive Abbildung verstanden werden. Für die alternative Definition gilt diese Aussage analog.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Orthogonalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bessel-Funktionen bilden eine Orthogonalbasis: Es gilt

für und größer 0 und mit als der Delta-Distribution.

Algebraisierung des besselschen Differentialoperators[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

der besselsche Differentialoperator. Für die Bessel-Funktionen gilt also . Mit Hilfe der Hankel-Transformation ist es möglich, diesen Differentialoperator in einen Ausdruck ohne Ableitungen zu überführen. Präzise gilt

Dies ist eine zentrale Eigenschaft der Hankel-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen.[2]

Beziehung zur Fourier-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hankel-Transformation hat einige Analogien zur Fourier-Transformation. Insbesondere lässt sich die Hankel-Transformierte durch eine zweidimensionale Fourier-Transformation berechnen. Sei dazu eine radialsymmetrische Funktion. Das heißt die Funktion ist unabhängig von , weshalb sie im Folgenden nur mit dem Parameter notiert wird. Von dieser Funktion wird nun mit Hilfe der Funktion und der Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte beschrieben.

Um dies zu sehen, wird das Fourier-Integral

von in Polarkoordinaten transformiert, was zu

führt. Dies zeigt, dass eine Fourier-Transformation einer radialsymmetrischen Funktion immer der Hankel-Transformation einer entsprechenden Funktion entspricht. Insbesondere ist es möglich, zu einer gegebenen Funktion eine entsprechende radialsymmetrische Funktion zu konstruieren, mit der man durch Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte von berechnen kann.

Hankel-Transformation für Distributionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ebenfalls wie bei der Fourier-Transformation ist es bei der Hankel-Transformation auf analoge Weise möglich, sie auf Distributionen zu verallgemeinern. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation kann die Hankel-Transformationen nicht auf dem Raum der temperierten Distributionen definiert werden. Daher definiert man einen neuen Raum und erklärt die Hankel-Transformation für Distributionen auf seinem Dualraum.

Distributionenraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei , dann ist definiert durch

Auf diesem Vektorraum wird zusätzlich eine Topologie in Form eines Konvergenzbegriffs definiert. Eine Folge konvergiert genau dann gegen Null, wenn

für alle gilt. Durch Bilden des topologischen Dualraums erhält man den Distributionenraum , auf dem man die Hankel-Transformation definieren kann. Beispielsweise sind alle Distributionen mit kompaktem Träger in , wie die Delta-Distribution eine ist, in dem Raum enthalten.

Hankel-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ist die Hankel-Transformation für alle definiert durch

Der Ausdruck ist wieder eine Hankel-Transformation einer Funktion und daher definiert. Aufgrund der Konstruktion des Raums wird hier allerdings die Konvention für die Transformation verwendet.

Wie bei der Fourier-Transformation für Distributionen führt man auch die Hankel-Transformation nicht auf der Distribution selbst aus, sondern sie wird auf der Testfunktion berechnet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Signal
Hankel-Transformierte
, gültig für
, gültig für ungerades m
,

In diesem Abschnitt wird mit die Bessel-Funktionen zweiter Gattung n-ter Ordnung, mit die Gammafunktion, mit die imaginäre Einheit und mit wieder die Delta-Distribution bezeichnet. In der Tabelle auf der rechten Seite werden noch zusätzlich einige Paare von Hankel-Transformationen gelistet.[3]

Die Hyperbel 1/t[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Hankel-Transformierte nullter Ordnung von gilt

.

Die Funktion ist also ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.

Die Gaußsche Glockenkurve[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Hankel-Transformation von der gaußschen Glockenkurve mit Hilfe der Fourier-Transformation skizziert. Da die Funktion analytisch ist, kann sie auf fortgesetzt werden und ist dort sogar radialsymmetrisch. Daher kann die Hankel-Transformierte mit der Fourier-Transformation über berechnet werden. Für die Fourier-Transformation ist ein Fixpunkt, woraus folgt, dass die Hankel-Transformierte von ebenfalls wieder ist. Also ist die gaußsche Glockenkurve ebenfalls ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.[2]

Die Delta-Distribution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Beispiel wird die Hankel-Transformation nullter Ordnung der Delta-Distribution berechnet. Es gilt

.

Der Ausdruck ist als Distribution, die von der konstanten Einsfunktion erzeugt wird, zu verstehen. Im Bereich der Physik notiert man die Delta-Distribution oftmals unpräzise als reellwertige Funktion und nicht als Funktional. In diesem Fall kürzt sich die Berechnung der Hankel-Transformation auf

.

Möchte man umgekehrt die Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion berechnen, stößt man beim Einsetzen in die Integraldarstellung auf ein divergentes Integral. Aufgrund von Dichtheitsargumenten ist es trotzdem möglich, die Delta-Distribution als Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion aufzufassen.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Larry C. Andrews, Bhimsen K. Shivamoggi: Integral Transforms for Engineers. SPIE Press, University of Central Florida, 1999, ISBN 978-0-8194-3232-2, Kapitel 7.
  • Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage. Springer, ISBN 978-3-540-24999-3, S. 219 bis 223.
  2. a b Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9.4.
  3. Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9.11.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]