Hardy-Raum

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In der Funktionentheorie ist ein Hardy-Raum ein Funktionenraum holomorpher Funktionen auf bestimmten Teilmengen von . Hardy-Räume sind die Entsprechungen der -Räume in der Funktionalanalysis. Sie werden nach Godfrey Harold Hardy benannt, der sie 1914[1] einführte.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Üblicherweise werden zwei Klassen von Hardy-Räumen definiert, abhängig von dem Gebiet in der komplexen Ebene, auf dem ihre Funktionen definiert sind.

Hardy-Räume auf der Einheitskreisscheibe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Einheitskreisscheibe in . Dann besteht für der Hardy-Raum aus allen holomorphen Funktionen , für die gilt

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird als „-Norm“ von bezeichnet, in Symbolen .

Für setzt man und definiert als Raum aller holomorphen Funktionen , für die dieser Wert endlich ist.

Hardy-Räume auf der oberen Halbebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die obere Halbebene in . Dann besteht für der Hardy-Raum aus allen holomorphen Funktionen , für die gilt

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird ebenfalls als „-Norm“ von bezeichnet, in Symbolen .

Für setzt man und definiert als Raum aller holomorphen Funktionen , für die dieser Wert endlich ist.

Wenn allgemein von Hardy-Räumen die Rede ist, ist in der Regel klar, welche der beiden Klassen gemeint ist (also ob oder ); üblicherweise ist es der Raum von Funktionen auf der Einheitskreisscheibe .

Faktorisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für kann jede Funktion als Produkt geschrieben werden, worin eine äußere Funktion und eine innere Funktion ist.

Für auf der Einheitsscheibe beispielsweise ist eine innere Funktion genau dann, wenn auf der Einheitskreisscheibe gilt und der Grenzwert

für fast alle existiert und sein absoluter Betrag gleich 1 ist. ist eine äußere Funktion, wenn

für einen reellen Wert und eine reellwertige und auf dem Einheitskreis integrable Funktion .

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für sind die Räume Banachräume.
  • Für gilt und .
  • Für gilt . Dabei sind alle diese Inklusionen echt.

Reelle Hardy-Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus den Hardy-Räumen der oberen Halbebene entwickelten Elias Stein und Guido Weiss die Theorie der reellen Hardy-Räume .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Schwartz-Funktion auf und für t > 0 eine Dirac-Folge. Sei eine temperierte Distribution, so sind die radiale Maximalfunktion und die nicht-tangentiale Maximalfunktion definiert durch

Hierbei bezeichnet die Faltung zwischen einer temperierten Distribution und einer Schwartz-Funktion.

Charles Fefferman und Elias M. Stein bewiesen für und , dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind:

  1. für ein mit ,
  2. für ein mit ,
  3. für jedes und ist in einer geeigneten Teilmenge gleichmäßig beschränkt in .

Man definiert den reellen Hardy-Raum als den Raum, welcher alle temperierten Distributionen enthält, die die obigen Bedingungen erfüllen.

Atomare Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Insbesondere -Funktionen haben die Eigenschaft, dass man sie in eine Reihe "kleiner" Funktionen sogenannter Atome zerlegen kann. Ein -Atom ist für eine Funktion , so dass gilt:

  1. hat ihren Träger in einem Ball ;
  2. fast überall; und
  3. für alle mit .

Die Forderungen 1 und 2 garantieren die Ungleichung und die Forderung 3 bringt die stärkere Ungleichung

.

Der Satz über die atomare Zerlegung sagt nun, für mit kann als Reihe von -Atomen

geschrieben werden. Dabei ist eine Folge komplexer Zahlen mit . Die Reihe konvergiert im Distributionensinne und es gilt weiter

.

Verbindung zu den Hardy-Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie oben schon erwähnt, sind die reellen Hardy-Räume aus den Hardy-Räumen der Funktionentheorie heraus entwickelt worden. Dies wird im folgenden Abschnitt erläutert, jedoch beschränken wir uns hier auf den Fall . Der interessante Fall p=1 wird also mit abgehandelt und für erhält man die ganze Spanne .

Seien

Funktionen auf der oberen Halbebene, welche die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen

und

für erfüllen.

Jede Funktion ist also eine harmonische Funktion und im Fall entsprechen die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genau den normalen Cauchy-Riemann-Gleichungen. Somit gibt es also eine holomorphe Funktion bezüglich der Variablen .

Nach einem weiteren Satz von Fefferman und Stein erfüllt eine harmonische Funktion genau dann eine der drei äquivalenten -Bedingungen, falls eine Funktion existiert, welche den verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genügt und welche -beschränkt ist, was

bedeutet.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für gilt analog . Also auch die reellen Hardy-Räume können für diese p mit den entsprechenden -Räumen identifiziert werden.
  • Für den Fall kann man als echte Teilmenge von auffassen.
  • liegt für dicht in .
  • Der Hardy-Raum ist nicht reflexiv, der Funktionenraum BMO ist sein Dualraum.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hardy-Räume finden Anwendung in der Funktionalanalysis selbst, aber ebenso in der Kontrolltheorie und in der Streutheorie. Sie spielen auch in der Signalverarbeitung eine grundlegende Rolle. Einem reellwertigen Signal , das für alle von endlicher Energie ist, ordnet man das analytische Signal zu, so dass . Ist , so ist und

(Die Funktion ist die Hilberttransformierte von ). Beispielsweise ist für ein Signal , dessen zugeordnetes analytisches Signal ist, durch gegeben.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Joseph A. Cima and William T. Ross: The Backward Shift on the Hardy Space. American Mathematical Society 2000, ISBN 0-8218-2083-4.
  • Peter Colwell: Blaschke Products - Bounded Analytic Functions. University of Michigan Press, Ann Arbor 1985, ISBN 0-472-10065-3.
  • Peter Duren: Theory of -Spaces. Academic Press, New York 1970.
  • Kenneth Hoffman: Banach spaces of analytic functions. Dover Publications, New York 1988, ISBN 0-486-65785-X.
  • Javier Duoandikoetxea: Fourier Analysis. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2001, S. 126, ISBN 0-8218-2172-5.
  • Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Mathods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. G.F. Hardy: The mean value of the modulus of an analytic function. Proc. London Math. Soc. 14, pp. 269-277 (1914).