Hauptidealring

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In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man Integritätsringe als Hauptidealringe oder Hauptidealbereiche, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist. Die wichtigsten Beispiele für Hauptidealringe sind der Ring der ganzen Zahlen sowie Polynomringe in einer Unbestimmten über einem Körper. Der Begriff des Hauptidealrings erlaubt es, Aussagen über diese beiden Spezialfälle einheitlich zu formulieren. Beispiele für Anwendungen der allgemeinen Theorie sind die Jordansche Normalform, die Partialbruchzerlegung oder die Strukturtheorie endlich erzeugter abelscher Gruppen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Integritätsring (d. h. ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit ) heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist, d. h. es gibt ein , so dass .

Im Folgenden sei ein Hauptidealring und sein Quotientenkörper. Außerdem sei eine Menge, die für jedes irreduzible genau ein zu assoziiertes Element enthält. Im Fall ist die Menge der (positiven) Primzahlen ein solches , im Fall für einen Körper die Menge der irreduziblen Polynome mit Leitkoeffizient 1.

Beispiele, Folgerungen und Gegenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Ringe sind Hauptidealringe:

Hauptidealringe gehören zu den folgenden allgemeineren Klassen von Ringen:

  • Ein Element ist genau dann prim, wenn es irreduzibel ist.
  • Jedes Element ungleich null des Quotientenkörpers von lässt sich auf eindeutige Weise in der Form
mit ganzen Zahlen und einer Einheit schreiben.
  • Das Lemma von Gauß: Jedes irreduzible Element in ist entweder ein irreduzibles Element von (aufgefasst als konstantes Polynom) oder ein in irreduzibles Polynom, dessen Koeffizienten teilerfremd sind.[2]

Keine Hauptidealringe sind:

  • Der Polynomring über den ganzen Zahlen ist kein Hauptidealring, da das von und erzeugte Ideal nicht durch ein einzelnes Polynom erzeugt werden kann. Dieser Ring ist aber nach dem erwähnten Lemma von Gauß faktoriell, da er ein Polynomring über einem faktoriellen Ring ist.
  • ist kein Hauptidealring, da das Ideal kein Hauptideal ist.

Teilbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der (bis auf Assoziiertheit eindeutige) größte gemeinsame Teiler von Elementen ist der (bis auf Assoziiertheit eindeutige) Erzeuger des Ideals . Insbesondere gilt das Lemma von Bézout: Es existieren mit
Spezialfall: sind genau dann teilerfremd, wenn es gibt mit
  • Das kleinste gemeinsame Vielfache von ist der Erzeuger des Ideals .
  • Chinesischer Restsatz: Sind paarweise teilerfremd, so ist der kanonische Ringhomomorphismus
ein Isomorphismus.[3]
  • Eine Verschärfung des chinesischen Restsatzes ist der Approximationssatz: Gegeben seien , paarweise verschiedene sowie Zahlen . Dann gibt es ein , das bezüglich in -ter Ordnung approximiert und ansonsten regulär ist, d. h.
für
und
für .
Dabei bezeichnet den Exponenten von in der Primfaktorzerlegung von .[4]
  • Für sind äquivalent:
    • ist irreduzibel
    • ist ein Primelement
    • ist ein Primideal
    • ist ein maximales Ideal
Das Nullideal ist ebenfalls ein Primideal, jedoch nur dann maximal, wenn ein Körper ist.

Hauptidealringe als Dedekind-Ringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Dedekind-Ring

Viele in algebraischer Zahlentheorie und algebraischer Geometrie natürlich auftretende Ringe sind keine Hauptidealringe, sondern gehören einer etwas allgemeineren Klasse von Ringen an, den Dedekind-Ringen. Sie sind die lokalisierte Version der Hauptidealringe, Ideale sind nicht mehr global, sondern nur noch lokal von einem Element erzeugt:

Ist ein noetherscher Integritätsbereich, für den der lokale Ring für jedes Primideal ein Hauptidealring ist, so heißt Dedekind-Ring.[5]

Die folgenden Eigenschaften gelten für Hauptidealringe, aber auch allgemeiner für Dedekind-Ringe:

Ist ein Dedekind-Ring faktoriell oder semilokal, so ist er ein Hauptidealring.[6]

Moduln über Hauptidealringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Untermoduln freier Moduln sind frei.[7]
  • Ist ein endlich erzeugter Modul mit Torsionsuntermodul , so gibt es einen freien Untermodul , so dass . Torsionsfreie, endlich erzeugte Moduln sind frei.[8]
  • Projektive Moduln sind frei.[9]
  • Ein Modul ist injektiv genau dann, wenn er dividierbar ist. Quotienten injektiver Moduln sind injektiv, jeder Modul hat eine injektive Auflösung der Länge 1. Eine explizite injektive Auflösung von ist[10]

Endlich erzeugte Moduln: Elementarteilersatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Elementarteilersatz beschreibt die Struktur einer Zerlegung eines endlich erzeugten Moduls in unzerlegbare Moduln. (Ein Modul heißt unzerlegbar, wenn es keine Moduln gibt mit .)

Es sei wie oben ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente (bis auf Assoziiertheit). Zu jedem endlich erzeugten Modul gibt es eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen und für , von denen fast alle null sind, so dass

Die Zahlen sind durch eindeutig festgelegt, und die einzelnen Faktoren bzw. sind unzerlegbar. Die Ideale , für die gilt, heißen Elementarteiler von .[11]

Endlich erzeugte Moduln: Invariante Faktoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jedem endlich erzeugten Modul gibt es eine endliche Folge von Elementen von , die nicht notwendigerweise von null verschieden sind, so dass

  • für

Die Ideale sind durch eindeutig bestimmt und heißen die invarianten Faktoren von . Die Elemente sind folglich bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.[12]

Zu dieser Aussage über Moduln gibt es zwei konkurrierende Sichtweisen:

  • Zu einem Modul kann man Erzeuger wählen und den Kern des zugehörigen Homomorphismus betrachten.
  • Zu einem Untermodul kann man Erzeuger wählen und die -Matrix mit Einträgen in betrachten, die den Homomorphismus mit Bild beschreibt.

Umgekehrt ist das Bild einer -Matrix mit Einträgen in ein Untermodul , und der Quotientenmodul (der Kokern des durch gegebenen Homomorphismus ) ist ein endlich erzeugter -Modul.

Für Untermoduln freier Moduln lautet die Aussage:

  • Ist ein freier -Modul und ein (ebenfalls freier) Untermodul von vom Rang , so gibt es Elemente , die Teil einer Basis von sind, sowie Elemente mit , so dass eine Basis von ist. Der von den aufgespannte Teil lässt sich invariant als das Urbild des Torsionsuntermoduls von beschreiben. Die Ideale sind die Invarianten (wie oben) des Moduls , evtl. ergänzt um .[13]

Für Matrizen (Smith-Normalform):

  • Ist eine -Matrix mit Einträgen vom Rang mit Einträgen in , so gibt es invertierbare Matrizen , so dass folgende Gestalt hat:
Dabei sind wieder die Invarianten wie oben.[14]

Torsionsmoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein (nicht notwendigerweise endlich erzeugter) Torsionsmodul über , d. h. für jedes existiert ein mit . Wieder sei ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente. Dann gilt:[15] ist die direkte Summe der -primären Untermoduln , d. h.

mit

Als Korollar ergibt sich, dass genau dann halbeinfach ist, wenn für alle .[16]

Anwendungsbeispiele:

  • Ist und , so lautet die Aussage: Jede rationale Zahl besitzt eine eindeutige Darstellung
mit , (und fast alle ) sowie und .[17]
  • Ist ( ein Körper) und , so entspricht den rationalen Funktionen, deren Nenner eine Potenz von ist. Der Satz liefert also den ersten Schritt der Partialbruchzerlegung, d. h. der eindeutigen Darstellung einer rationalen Funktion als
Dabei durchläuft die irreduziblen normierten Polynome in , die weiteren Komponenten sind der reguläre Anteil , die Ordnungen (fast alle ) und geeignete Polynome für mit . Ist insbesondere linear, so sind die Konstanten.[18]
  • Ist und ein endlichdimensionaler -Vektorraum zusammen mit einem Endomorphismus (mit der -Modulstruktur ), so ist die obige Zerlegung die Aufspaltung in die Haupträume. Das Korollar besagt in diesem Fall, dass genau dann halbeinfach ist, wenn das Minimalpolynom von keine mehrfachen Faktoren enthält.[19]

Verallgemeinerung auf nicht-kommutative Ringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Definitionen lassen sich auf nicht-kommutative Ringe verallgemeinern. Ein Rechts-Hauptideal ist Rechts-Vielfaches eines einzelnen Elements ; ist ein Links-Hauptideal. Wie im kommutativen Fall sind und die trivialen (und zweiseitigen) Hauptideale.

Die Hurwitzquaternionen sind ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring, der mit seiner Norm als euklidischer Norm sowohl links- als auch rechtseuklidisch und damit sowohl rechts- wie linksseitig ein Hauptidealring ist.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wird nur gefordert, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist, gelangt man zum Begriff des noetherschen Rings.
  • Umgekehrt kann man an einen Integritätsbereich die Bedingung stellen, dass alle endlich erzeugten Ideale Hauptideale sind: Dies sind die sogenannten Bézoutringe. Hauptidealringe sind also genau die noetherschen Bézoutringe.
  • Manchmal werden auch nicht nullteilerfreie Ringe in der Definition des Begriffes „Hauptidealring“ erlaubt, es wird also nur gefordert, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist und .[20] Im Englischen wird hierzu sprachlich zwischen principal ideal ring und principal ideal domain (domain = Integritätsbereich) unterschieden. Die entsprechende Unterscheidung der Begriffe Hauptidealring und Hauptidealbereich ist im Deutschen jedoch unüblich.[21]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Serge Lang: Algebra. Revised 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X (Graduate Texts in Mathematics 211).
  • Nicolas Bourbaki: Algebra II. Chapters 4–7. Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-19375-8 (Elements of Mathematics).
  • Nicolas Bourbaki: Eléments de mathématique. Algèbre Commutative. Band 10: Chapitre 10. Réimpression de l'édition de 1998. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-34394-3.
  • Nicolas Bourbaki: Commutative Algebra. Chapters 1–7. 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-19371-5 (Elements of Mathematics).
  • Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Ein moderner Zugang zu klassischen Themen. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0211-5 (Vieweg Studium).

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Lang, Theorem II.5.2, S. 112
  2. Lang, Theorem IV.2.3, S. 182
  3. Lang, Corollary II.2.2, S. 95
  4. Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2.4, Proposition 2
  5. Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2
  6. Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg-Verlag, 2006, S. 188. (Satz 18.16)
  7. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 2; Lang, Theorem III.7.1
  8. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Corollary 1 und 2; Lang, Theorem III.7.3
  9. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 3
  10. Bourbaki, Algèbre, Ch. X, § 1, No. 7, Corollaire 2
  11. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 8, Proposition 9; Lang, Theorem III.7.5
  12. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Theorem 2; Lang, Theorem III.7.7
  13. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 3, Theorem 1; Lang, Theorem III.7.8
  14. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 6, Corollary 1; Lang, Theorem III.7.9
  15. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Theorem 1
  16. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Corollary 4
  17. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, I
  18. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, II
  19. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 5, No. 8, Proposition 14
  20. Lang, II, §1, S. 86
  21. Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-642-55216-8, S. 34 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).