Hausdorff-Dimension

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Die Hausdorff-Dimension wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie Strecken, Vielecke, Quader und Ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes überein. Im Allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl, sondern kann auch eine rationale oder eine irrationale Zahl sein, wie beispielsweise bei der Anwendung als fraktale Dimension.

Vereinfachte Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Darstellung ist eine vereinfachte Definition der Hausdorff-Dimension für eine Punktmenge endlicher Ausdehnung in einem dreidimensionalen Raum. Dazu betrachtet man die Anzahl der Kugeln mit dem Radius , die mindestens erforderlich ist, um die Punktmenge zu überdecken. Diese Mindestanzahl ist eine Funktion des Radius . Je kleiner der Radius ist, umso größer ist . Aus der Potenz von , mit der für den Limes gegen Null anwächst, berechnet sich die Hausdorff-Dimension und zwar nach

und damit

.

Anstelle von Kugeln können ebenso gut Würfel oder vergleichbare Objekte verwendet werden. Bei Punktemengen in der Ebene können auch Kreise zur Überdeckung verwendet werden. Bei Punktmengen in mehr als drei Dimensionen müssen entsprechend höherdimensionale Kugeln verwendet werden.

Für eine gewöhnliche endliche Kurve wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln umgekehrt proportional zum Kugelradius. Eine Kurve hat daher die Hausdorff-Dimension . Für eine gewöhnliche endliche Fläche wie beispielsweise ein Rechteck wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln dagegen proportional zu . Es gilt daher .

Für den Spezialfall eines geometrischen Objekts, welches aus disjunkten Teilobjekten besteht, die im Maßstab verkleinerte Kopien des Gesamtobjekts darstellen, ergibt sich für die Hausdorff-Dimension . Haben die Teilobjekte verschiedene Größe, so ist durch

definiert, wobei die einzelnen Maßstäbe sind (). Man spricht in diesen Fällen auch von Ähnlichkeits-Dimension. Beispiele für die Ähnlichkeits-Dimension:

  1. Ein Quadrat setzt sich aus 9 Quadraten von 1/3 Seitenlänge zusammen, seine Hausdorff-Dimension ist
  2. Die Koch-Kurve, ein Fraktal, besteht aus 4 jeweils im Maßstab 1:3 verkleinerten Kopien der Gesamtkurve. Es ergibt sich nach eine nicht-ganzzahlige Dimension.

Es ist jedoch zu beachten, dass diese vereinfachte Definition sich nicht generell mit der exakten Definition (s. u.) deckt. Beispielsweise bei einer Kochkurve mit räumlich variierender Iterationstiefe oder Ähnlichem kann die so definierte Dimension von der tatsächlichen Hausdorff-Dimension abweichen.

Für eine numerische Bestimmung der Hausdorff-Dimension einer gegebenen Punktmenge lässt sich der so genannte Boxcounting-Algorithmus verwenden. Aber auch hier gilt das nur, solange die Hausdorff-Dimension mit der Boxcounting-Dimension übereinstimmt, was in Spezialfällen nicht zutrifft. Bei einer Einbettung in einen zweidimensionalen Raum überdeckt man die Menge mit einem lückenlosen regelmäßigen Raster aus Quadraten und ermittelt die Zahl der Quadrate, die Punkte aus der Menge enthalten, in Abhängigkeit von der Kantenlänge. Eine numerische Extrapolation der obigen Definitionsgleichung für die Kantenlänge gegen Null liefert näherungsweise die Hausdorff-Dimension.

Definition über das Hausdorff-Maß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine mathematisch exakte Definition der Hausdorff-Dimension einer beschränkten Teilmenge erfolgt über das Hausdorff-Maß , das dieser Menge zu jeder Dimension zugeordnet wird. Danach ist die Hausdorff-Dimension von definiert als das Infimum aller , für die ist, oder äquivalent dazu als das Supremum aller , für die gilt, das heißt

Für festes haben also Mengen, deren Hausdorff-Dimension kleiner als ist, das -dimensionale Maß null, während Mengen größerer Dimension unendliches -dimensionales Maß haben. Das entspricht der Tatsache, dass beispielsweise eine Strecke als Teilmenge der Ebene das Lebesgue-Maß Null hat.

Zur Definition des Hausdorff-Maßes betrachte man die Größe

für beliebige und , wobei alle Überdeckungen von durch abzählbar viele Mengen durchläuft, deren jeweilige Durchmesser kleiner als sind. Das -dimensionale Hausdorff-Maß von ist nun definiert als

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bestimmung der Hausdorff-Dimension einer eindimensionalen Strecke anhand der Menge erfolgt folgendermaßen:

1. Das Hausdorff-Maß für :

Für sei die natürliche Zahl so gewählt, dass gilt. Mit der speziellen Überdeckung
für , für
folgt
also

2. Das Hausdorff-Maß für :

Wegen ist
Da die das Einheitsintervall überdecken, ist die Summe ihrer Durchmesser mindestens 1:
Damit folgt
also

3. Das Hausdorff-Maß für :

Setzt man die beiden Argumente aus dem ersten und zweiten Fall zusammen, dann erhält man

Es ist also .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Egbert Brieskorn (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis, Vieweg Verlag 1996, ISBN 3-528-06493-5, u.a. Seiten 185 ff.