Hausdorff-Metrik

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Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand ) zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen , eines metrischen Raums .

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen umso geringeren Hausdorff-Abstand, je besser sie einander wechselseitig überdecken.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand zwischen einem Punkt und einer nichtleeren kompakten Teilmenge unter Rückgriff auf die Metrik des Raums als

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen und als

Man kann zeigen, dass in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

,[1]

wobei

,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand zur Menge .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Munkres, James: Topology. Hrsg.: Prentice Hall. 1999, ISBN 0-13-181629-2, S. 280–281 (google.com).