Hausdorff-Raum

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Zwei Punkte, die durch Umgebungen getrennt werden.

Ein Hausdorff-Raum (auch hausdorffscher Raum) (nach Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M, in dem das Trennungsaxiom T_2 (auch Hausdorffeigenschaft oder Hausdorff'sches Trennungsaxiom genannt) gilt.

Definition[Bearbeiten]

Ein topologischer Raum M hat die Hausdorffeigenschaft, wenn für alle x,y \in M mit x \neq y disjunkte offene Umgebungen U_x und V_y existieren.

Mit anderen Worten: alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt. Ein topologischer Raum, der die Hausdorffeigenschaft erfüllt, wird Hausdorff-Raum genannt.

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume[Bearbeiten]

Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er präregulär (R_1) ist:

alle paarweise topologisch unterscheidbaren Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt,

und die Kolmogoroff-Eigenschaft (T_0) besitzt:

alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M sind topologisch unterscheidbar.

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte x und y genau dann, wenn es eine offene Menge gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht. "Durch Umgebungen getrennt" werden die Punkte x,y per Definition dann, wenn es offene Umgebungen x\in U_x, y\in V_y mit U_x\cap V_y=\emptyset gibt.

Beweis:

  • Wenn R_1 und T_0 gegeben sind, folgt unmittelbar T_2: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
  • Der umgekehrte Schluss von T_2 auf R_1 und T_0 geht so:
    • Aus der Definition von T_2 folgt für verschiedene x, y die Existenz der Menge U_x, die x, aber nicht y enthält, ergo gilt T_0.
    • Seien x, y zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist x\neq y. Dann folgt mit T_2, dass x und y durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R_1.

Spezialisierung[Bearbeiten]

Ein Hausdorff-Raum, der zusätzlich noch normal ist, wird als T4-Raum bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten]

Insbesondere sind in topologischen Hausdorff-Räumen Grenzwerte – anders als in allgemeinen topologischen Räumen – eindeutig.

So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere ist jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird das Spektrum eines Ringes mit der Zariski-Topologie versehen, erhält man einen nüchternen topologischen Raum, der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.

Viele Beispiele nicht-Hausdorffscher Räume erhält man als Quotientenräume von Mannigfaltigkeiten bzgl. mancher Gruppenwirkungen oder allgemeinerer Äquivalenzrelationen. Zum Beispiel ist der Blattraum der Reeb-Blätterung (also der Quotientenraum bzgl. der Äquivalenzrelation: zwei Punkte sind äquivalent gdw. sie zum selben Blatt gehören) nicht Hausdorffsch.

Lokaleuklidische Räume müssen nicht Hausdorffsch sein. Der aus zwei Kopien von \R^1 durch Identifizierung eines offenen Intervalls entstehende Raum ist lokal homöomorph zum \R^1, aber nicht Hausdorffsch.

Literatur[Bearbeiten]