Hawking-Strahlung

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Die Hawking-Strahlung ist eine von dem britischen Physiker Stephen Hawking 1975 postulierte Strahlung Schwarzer Löcher. Sie wird aus Konzepten der Quantenfeldtheorie und der Allgemeinen Relativitätstheorie abgeleitet.[1]

Die Hawking-Strahlung ist auch für die aktuelle Forschung von Interesse, weil sie als potentielles Testfeld für eine Theorie der Quantengravitation dienen könnte.

Heuristische Überlegungen führten J. D. Bekenstein bereits 1973 zu der Hypothese, dass die Oberfläche des Ereignishorizonts ein Maß für die Entropie eines Schwarzen Loches sein könnte (Bekenstein-Hawking-Entropie). Dann müsste nach der Thermodynamik einem Schwarzen Loch aber auch eine endliche Temperatur zugeordnet werden können und es müsste im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung stehen. Das ergab ein Paradoxon, da man damals eigentlich davon ausging, dass keine Strahlung aus Schwarzen Löchern entkommen könne. Hawking stellte quantenmechanische Berechnungen an und fand zu seiner eigenen Überraschung, dass doch eine thermische Strahlung vorhanden war.

Ähnliche Phänomene wie in der Hawking-Strahlung treten in der Kosmologie auf (Gibbons-Hawking-Effekt) und bei beschleunigten Bezugssystemen (Unruh-Effekt).

Anschauliche Interpretation[Bearbeiten]

Hawking hat in seiner Veröffentlichung im Jahre 1975[1] und auch in mehreren populärwissenschaftlichen Büchern intuitive Erläuterungen geboten, die gemäß eigener Aussage allerdings nicht allzu wörtlich zu nehmen sind: [2][3]

Im Gegensatz zur klassischen Physik ist in der Quantenelektrodynamik (und anderen Quantenfeldtheorien) das Vakuum kein „leeres Nichts“, sondern erlaubt vielmehr Vakuumfluktuationen. Vakuumfluktuationen bestehen aus virtuellen Teilchen-Antiteilchen-Paaren. Solche Paare können sowohl massebehaftete als auch masselose Teilchen wie Photonen sein. Derartige Vakuumfluktuationen existieren auch in der unmittelbaren Nähe des Ereignishorizonts schwarzer Löcher. Fällt ein Teilchen (oder Antiteilchen) in das Schwarze Loch, so werden die beiden Partner durch den Ereignishorizont getrennt. Der ins Schwarze Loch fallende Partner trägt negative Energie, während der zweite Partner, der als reales Teilchen (oder Antiteilchen) in den freien Raum entkommt, positive Energie trägt. „Nach der Einsteinschen Gleichung E=mc² ist die Energie der Masse proportional. Fließt negative Energie in das Schwarze Loch, verringert sich infolgedessen seine Masse“.

An anderer Stelle[4] benutzt Hawking eine andere Interpretation von Teilchen-Antiteilchen-Paaren, um die Hawking-Strahlung zu veranschaulichen: da ein Antiteilchen auch als Teilchen aufgefasst werden kann, das rückwärts in der Zeit läuft, könnte man ein in das Schwarze Loch fallendes Antiteilchen als Teilchen interpretieren, das aus dem Schwarzen Loch kommt und am Ereignishorizont durch das Gravitationsfeld als Teilchen in die Zeit-Vorwärtsrichtung gestreut wird.

Diejenigen Teilchen, die dem Schwarzen Loch entkommen, bilden die Hawking-Strahlung. Sie ist thermischer Natur in der Art von Schwarzkörperstrahlung und mit einer bestimmten Temperatur verbunden, der sogenannten Hawking-Temperatur, die sich umgekehrt proportional zur Masse des Schwarzen Lochs verhält.

Da die Vakuumfluktuationen durch eine starke Krümmung der Raumzeit begünstigt werden, ist dieser Effekt besonders bei Schwarzen Löchern geringer Masse bedeutsam. Schwarze Löcher geringer Masse sind von geringer Ausdehnung, d.h. haben einen kleineren Schwarzschildradius. Die den Ereignishorizont umgebende Raumzeit ist entsprechend stärker gekrümmt. Je größer und damit massereicher ein Schwarzes Loch ist, desto weniger strahlt es also. Je kleiner ein Schwarzes Loch ist, umso höher ist seine Temperatur und aufgrund stärkerer Hawking-Strahlung verdampft es umso schneller.

Große Schwarze Löcher, wie sie aus Supernovae entstehen, haben eine so geringe Strahlung (überwiegend Photonen), dass diese im Universum nicht nachweisbar ist. Kleine Schwarze Löcher haben dagegen nach dieser Theorie eine deutliche Wärmestrahlung, was dazu führt, dass ihre Masse rasch abnimmt. So hat ein Schwarzes Loch der Masse 1012 Kilogramm – der Masse eines Berges – eine Temperatur von etwa 1011 Kelvin, so dass neben Photonen auch massebehaftete Teilchen wie Elektronen und Positronen emittiert werden. Dadurch steigt die Strahlung weiter an, sodass so ein kleines Schwarzes Loch in relativ kurzer Zeit völlig zerstrahlt (verdampft). Sinkt die Masse unter 1000 Tonnen, so explodiert das Schwarze Loch mit der Energie mehrerer Millionen Mega-, bzw. Teratonnen TNT-Äquivalent.[5] Die Lebensdauer eines Schwarzen Loches ist proportional zur dritten Potenz seiner ursprünglichen Masse und beträgt bei einem Schwarzen Loch mit der Masse unserer Sonne ungefähr 1064 Jahre. Sie liegt damit jenseits sämtlicher Beobachtungsgrenzen.

Hawking-Temperatur[Bearbeiten]

Hawking fand eine Formel für die Entropie S und Strahlungstemperatur T eines Schwarzen Lochs, die auch als Hawking-Temperatur TH bezeichnet wird und gegeben ist durch:

T_\mathrm{H} = \frac{\hbar\ c^3}{8\pi\,G\,M k_\mathrm{B}}

wobei ħ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum, c die Lichtgeschwindigkeit, G die Gravitationskonstante, M die Masse des Schwarzen Lochs und kB die Boltzmannkonstante ist. Häufig wird die Temperatur und Entropie in der Gravitationsphysik auch so angegeben, dass die Boltzmannkonstante weggelassen wird.

Die Ableitung der Formel für die Temperatur erfolgte in der ursprünglichen Arbeit von Hawking in Semiklassischer Näherung. Da ein Teil der erzeugten Strahlung durch das Gravitationsfeld in das Schwarze Loch zurückgestreut wird, sind Schwarze Löcher eher als „graue Strahler“ zu verstehen mit einer gegenüber dem Modell des schwarzen Körpers verminderten Strahlungsintensität. Die Näherungen bei der Herleitung gelten nur für Schwarze Löcher mit großer Masse, da angenommen wurde, dass die Krümmung des Ereignishorizontes vernachlässigbar klein ist, so dass „gewöhnliche“ Quantenmechanik in der Hintergrund-Raumzeit (im Fall des Schwarzen Lochs die Schwarzschild-Metrik oder deren Verallgemeinerungen) betrieben werden kann. Für sehr kleine Schwarze Löcher sollte die Intensitätsverteilung deutlich von der eines schwarzen Strahlers abweichen, weil in diesem Fall die quantenmechanischen Effekte so bestimmend werden, dass die semiklassische Näherung nicht mehr gilt.

Aus der von Hawking gefundenen Formel für die Temperatur ergab sich über d E = T d S (mit  E = M c^2) eine Formel für die Entropie, die bis auf Vorfaktoren mit der von Bekenstein mit heuristischen Argumenten abgeleiteten Formel übereinstimmte.

Abschätzungen[Bearbeiten]

Von der Größenordnung her lässt sich die Hawking-Temperatur folgendermaßen herleiten[6]: Das Wiensche Verschiebungsgesetz ergibt ein Maximum der Schwarzkörperstrahlung bei Wellenlängen \lambda \approx \frac {\hbar c}{k_B T}. Bei Schwarzen Löchern kommt als Längeneinheit nur der Schwarzschildradius r_\mathrm{S} = \frac{2 G M}{c^2} in Betracht, so dass \lambda \approx r_\mathrm{S}\approx  \frac{G M}{c^2} und sich die Temperatur (in Kelvin) ergibt:

T \approx \frac {\hbar c^3}{k_B G M} \approx 10^{-6} \frac {M_{\odot}}{M}

mit der Sonnenmasse M_{\odot}.

Auf ähnliche Weise lässt sich die Strahlungsleistung nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz abschätzen:

P \approx c \frac {{(k_B T)}^4}{{{(\hbar c)}}^3} A \approx c  \frac {\hbar c}{{r_S}^4} {r_S}^2 \approx \frac {\hbar c^6}{G^2 M^2}

mit der Fläche A \approx 4 \pi {r_S}^2, dem Schwarzschildradius  r_S \approx \frac {G M}{c^2} und der oben abgeschätzten Temperatur k_B T \approx \frac{\hbar c}{r_S}. In MKS-Einheiten ergibt sich:  P \approx 10^{38} M^{-2} Watt

Die Lebensdauer \tau ergibt sich der Größenordnung nach aus  P \tau \approx M c^2 zu:

\tau \approx \frac {G^2 M^3}{\hbar c^4}

Oder bei Angabe mit MKS-Einheiten:

\tau \approx 10^{-20} M^3 Sekunden

oder  \tau \approx 10^{64} \cdot \left(\frac {M}{M_{\odot}} \right)^3 Jahre

Erläuterungen zu Hawkings Originalarbeit[Bearbeiten]

Vorbemerkungen[Bearbeiten]

Seit Hawkings Veröffentlichung 1975 [1] wurde eine Reihe unterschiedlicher Methoden zur Herleitung der thermischen Strahlung Schwarzer Löcher entwickelt, die auf verschiedenen Wegen seine ursprünglichen Ergebnisse bestätigen und ergänzen.[7]

Hawking verwendete aus Gründen der Einfachheit in seiner Originalarbeit ein masseloses Skalarfeld. Die Ergebnisse können jedoch auf andere Teilchen wie beispielsweise Photonen und allgemeiner auch auf masselose Fermionen erweitert werden. Die Hawking-Strahlung enthält prinzipiell auch massebehaftete Teilchen, allerdings ist deren Beitrag im Vergleich zu masselosen Teilchen um viele Größenordnungen unterdrückt.

Entgegen den oben dargestellten, bildhaften Veranschaulichungen handelt es sich bei der Hawking-Strahlung um einen globalen Effekt. Es ist nicht möglich einen Ort oder einen begrenzten Bereich der Raumzeit anzugeben, in dem die Teilchenerzeugung stattfindet. Insbesondere ist dies nicht der Bereich nahe am Ereignishorizont.

Es handelt sich ferner nicht um einen Effekt der üblichen Störungstheorie, wie der teilweise unzutreffende Begriff der „virtuellen Teilchen“ suggerieren könnte. Wäre dies der Fall, so müsste das Endergebnis von der Kopplungskonstante der betrachteten Wechselwirkung, wie z.B. der Feinstrukturkonstante bei der elektromagnetischen Wechselwirkung, abhängen. Das Ergebnis ist jedoch bereits für freie, nicht-wechselwirkende Felder gültig.

Erläuterungen[Bearbeiten]

Hawking arbeitet in einer semiklassischen Näherung, d.h. er betrachtet eine freie Quantenfeldtheorie auf einer klassischen, schwach gekrümmten Raumzeit. Relevant ist im Wesentlichen die globale Struktur der Raumzeit sowie insbesondere die Existenz eines Ereignishorizontes.

Hawking setzt einen sphärisch-symmetrischen Kollaps einer Masse M voraus, d.h. er geht nicht von einer rein statischen Schwarzschild-Metrik aus. Letztere gilt jedoch aufgrund des Birkhoff-Theorem im Außenraum des Kollaps exakt. Die Details der Innenraumlösung sind für die Argumentation irrelevant.

Hawking beginnt mit der kanonischen Quantisierung freier Felder auf Basis einer verallgemeinerten Fourierentwicklung. Diese Fouriermoden sind dabei speziell Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung für masselose Skalarfelder auf der Raumzeit-Geometrie. Die dabei notwendige Zerlegung der Fouriermoden nach positiven und negativen Frequenzen sowie die daraus folgende Klassifizierung von Teilchen und Antiteilchen ist aufgrund der Raumzeitgeometrie nicht eindeutig. Im Zuge der Quantisierung kann ein Beobachter mathematisch jeweils für ihn gültige Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, sowie einen für ihn gültigen Vakuumzustand (Fock-Zustand) definieren, in dem entsprechend seiner Klassifizierung keine Teilchen und Antiteilchen existieren. Während diese Beobachterabhängigkeit in der Minkowski-Raumzeit für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sowie für den Vakuumzustand letztlich irrelevant ist, führt sie bei Anwesenheit eines Ereignishorizontes zu inäquivalenten Vakuumzuständen.

Mathematisch existiert eine Transformation, die sogenannte Bogoljubov-Transformation, die die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren beider Beobachter ineinander überführt. Hawking fixiert zunächst einen Vakuumzustand sowie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die ferne Vergangenheit. In diesem Zustand verschwindet der Erwartungswert des Teilchenzahloperators (definiert für die ferne Vergangenheit). Anschließend bestimmt er die Bogoljubov-Transformation für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die ferne Zukunft. Dazu wird im Wesentlichen die Streuung der Fouriermoden am kollabierenden Schwarzen Loch berechnet. Der für die Hawking-Strahlung relevante Anteil stammt dabei aus der Streuung der Moden innerhalb des kollabierenden Körpers. Damit kann nun der Erwartungswert des Teilchenzahloperators (definiert für die ferne Zukunft) im ursprünglichen Vakuumzustand (definiert für die ferne Vergangenheit) berechnet werden. Es zeigt sich, dass dieser Erwartungswert nicht verschwindet! Der Beobachter in der fernen Zukunft sieht demnach nicht den für ihn gültigen Vakuumzustand, sondern einen Zustand, in dem tatsächlich Teilchen und Antiteilchen (bzgl. seiner Definition) enthalten sind. Die thermische Natur des Spektrums folgt aus der genauen Form der Bogoljubov-Transformation.

Der physikalische Kern von Hawkings Argumentation lautet demnach wie folgt: Der Kollaps sowie die Anwesenheit eines Horizontes führt zu inäquivalenten Vakuumzuständen. Während in einer flachen Raumzeit die Zeitentwicklung das Vakuum invariant lässt, ist dieses in einer Raumzeit mit Schwarzen Loch einem „Streuprozess“ unterworfen ist, der das initiale Vakuum in einen thermischen Zustand überführt.

Details[Bearbeiten]

Hawking betrachtet die freie Klein-Gordon-Gleichung

-g^{ab}\nabla_a\nabla_b \phi = 0

eines masselosen Skalarfeldes.

Er führt auf den lichtartigen Cauchy-Hyperflächen \mathcal{I}^- und \mathcal{I}^+ vollständige Funktionensysteme f_i und p_i ein, mittels derer er den Feldoperator \phi als Fouriersumme von Erzeugern und Vernichtern darstellt:

\phi = \sum_i[f_i a_i + \bar{f}_i a^\dagger_i]
\phi = \sum_i[p_i b_i + \bar{p}_i b^\dagger_i] + \ldots

“…” steht dabei für ein weiteres Funktionensystem auf der lichtartigen Cauchy-Hyperfläche des Horizontes. Dieses ist prinzipiell notwendig, um die Cauchy-Daten zu vervollständigen, spielt jedoch im Folgenden keine Rolle.

Hawking definiert zunächst den Vakuumzustand

a_i|0_-\rangle = 0

bezüglich der von \mathcal{I}^- einlaufenden Teilchen.

Der allgemeine Zusammenhang zwischen den beiden Familien von Erzeugern und Vernichtern besteht nun in der Bogoljubov-Transformation

p_i = \sum_j\left[\alpha_{ij}f_j + \beta_{ij}\bar{f}_j\right]
b_i = \sum_j\left[\bar{\alpha}_{ij}a_j - \bar{\beta}_{ij}a_j^\dagger\right]

Hawking zeigt im Folgenden, dass die Streuung der aus \mathcal{I}^- einlaufenden Moden am Schwarzen Loch dazu führt, dass ein Beobachter auf \mathcal{I}^+ dem Zustand |0_-\rangle einen nicht-verschwindenden Teilcheninhalt

\langle 0_-|b_i^\dagger b_i |0_-\rangle = \sum_{ij}|\beta_{ij}|^2 > 0

zuschreibt. Die Erzeugungsrate der Teilchen folgt dabei direkt aus den Koeffizienten \beta_{ij} der Bogoljubov-Transformation. Diese mischen den Vernichtern auf \mathcal{I}^- einen Anteil von Erzeugern auf \mathcal{I}^+ bei.

Die Streuung der Moden erfolgt dabei sowohl an der äußeren Schwarzschildgeometrie als auch an der Geometrie des Innenraums des kollabierenden Sterns. Letztere ergibt einen nicht-trivialen Beitrag zu den p_i-Moden, die dann die spezielle Form der Bogoljubov-Koeffizienten bewirken.

Der Beitrag einer Mode mit Radialfrequenz \omega ist dabei

p_i \sim \frac{1}{e^{2\pi\omega/\kappa} -1}

mit \kappa = 1/4M. D.h. es liegt thermische Strahlung mit Temperatur T_H = 1 / 8\pi M (in natürlichen Einheiten) entsprechend der Bose-Einstein-Statistik vor.

Hawking erläutert grob, dass für Fermionen ein Verlauf

p_i \sim \frac{1}{e^{2\pi\omega/\kappa} +1}

entsprechend der Fermi-Dirac-Statistik zu erwarten ist.

Der Beitrag massebehafteter Teilchen ist exponentiell unterdrückt, da in diesem Fall in der Frequenz bzw. der entsprechenden Energie die Ruhemasse entsprechend  \omega^2 \sim E^2 = m^2 + p^2 zu berücksichtigen ist.

Schlussfolgerungen und Ausblick[Bearbeiten]

Die Vorhersage der Hawking-Strahlung beruht auf der Kombination von Effekten der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie sowie der Thermodynamik. Da eine Vereinheitlichung dieser Theorien bisher nicht gelungen ist ( Quantentheorie der Gravitation) sind solche Vorhersagen immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet.

Mit der thermischen Strahlung verliert das Schwarze Loch Energie und damit Masse. Es „schrumpft“ also mit der Zeit. Schwarze Löcher stellaren Ursprungs haben jedoch aufgrund ihrer großen Masse eine geringere Temperatur als die kosmische Hintergrundstrahlung, weshalb diese Schwarzen Löcher thermische Energie aus ihrer Umgebung aufnehmen. In diesem Fall ist also kein Schrumpfen des Schwarzen Loches möglich, denn durch die Aufnahme an Strahlungsenergie nimmt die Masse dabei gemäß der einsteinschen Masse-Energie-Äquivalenzformel zu. Erst wenn die Umgebungstemperatur unter die Temperatur des Schwarzen Loches gefallen ist, verliert das Loch durch Strahlungsemission an Masse.

Was am „Ende seiner Lebenszeit“ mit einem Schwarzen Loch geschieht, ist noch unklar. Zunächst ist zu erwarten, dass die in der ursprünglichen Herleitung verwendeten Näherungen der schwachen Krümmung der Raumzeit nicht mehr gültig ist. Insbesondere tritt dabei das so genannte Informationsparadoxon auf. Es besteht in der Frage, was beim „Verdampfen“ des Schwarzen Loches mit der ursprünglichen Information geschieht, die bei dessen Entstehung in das Schwarze Loch hineingestürzt ist und gemäß bestimmter Forderungen aus der Quantenmechanik nicht verloren gehen kann.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten]

  1. a b c Stephen W. Hawking, Particle creation by black holes, Commun. Math. Phys. 43 (1975), 199–220 (PDF; 1,8 MB)
  2. Stephen Hawking: Eine kurze Geschichte der Zeit, S. 141 f., Rowohlt Taschenbuch Verlag, 2005, 25. Auflage, ISBN 3-499-60555-4
  3. Stephen Hawking: Das Universum in der Nußschale, S. 153, Hoffmann und Campe, 2001, ISBN 3-455-09345-0
  4. Stephen Hawking, The Quantum Mechanics of Black Holes, Scientific American, Januar 1977
  5. Hawking, Black hole explosions?, Letters to Nature, Band 248, 1. März 1974, S. 30-31
  6. Roman Sexl, Hannelore Sexl: Weiße Zwerge – Schwarze Löcher, Vieweg 1979, S. 83
  7. J.B. Hartle, S.W. Hawking, "Path-integral derivation of black-hole radiance", Phys. Rev. D 13, (1976), S. 2188