Heaviside-Funktion

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Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

Heaviside-Funktion

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur ist statt auch eine davon abweichende Nomenklatur geläufig:

  • , welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
  • und nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
  • nach der Bezeichnung englisch unit step function.
  • Auch wird häufig verwendet.
  • In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol .

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Alternative Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

mit . Es kann also eine beliebige Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann ist.

Durch die Wahl und folglich erreicht man, dass die Gleichungen

und damit auch

für alle reellen gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differenzierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man und geeignet approximiert, z. B. durch

für ,
für ,
für

sowie

für

und

für

Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch partielle Integration und Anwendung der Faltungseigenschaft der Delta-Distribution:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]