Heavy-tailed-Verteilung

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Heavy-tailed-Verteilung (auch: Heavy-Tail-Verteilung[1]) bzw. endlastige Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer unendlichen Varianz. Anschaulich besagt der Begriff, dass auf dem „Schwanz“ beziehungsweise den „Schwänzen“ der Verteilung mehr Masse liegt als beispielsweise bei der Normalverteilung. Die Verteilung einer Zufallsgröße heißt je nach Bedingung short-, medium- oder heavy-tailed. Definiert man die bedingte mittlere Exzess-Funktion

,

so gilt

.

Sind unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, so gilt unter der Annahme, dass sie heavy-tailed sind, dass die Verteilung der Summe der asymptotisch durch die Verteilung des Maximums der bestimmt ist.

Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Illustration modelliere die Zufallsgröße eine Wartezeit. Folgt einer short-tailed Verteilung, so gilt: Je länger man bereits gewartet hat, desto kürzer die zu erwartende Restwartezeit. Folgt einer medium-tailed Verteilung, so hat die bisherige Wartezeit ab einem bestimmten Zeitpunkt keinen Einfluss mehr auf die noch zu erwartende Restwartezeit. Folgt dagegen einer long-tailed Verteilung, so gilt: Je länger man bereits gewartet hat, desto länger ist die noch zu erwartende Restwartezeit.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Versicherungsmathematik verwendet man Heavy-tail- (oder auch Heavy-tailed-) Verteilungen zur Modellierung von Großschäden und Extremereignissen. Haftpflichtsparten bezeichnet man wegen ihrer langen Abwicklungsdauer auch als sogenannte Long-tail-Sparten. Dagegen sind Versicherungssparten wie die Kaskoversicherung, die Hausrat- oder Glasversicherung sogenannte Short-tail-Sparten. Die Abwicklung der Schäden in diesen Short-tail-Sparten ist im Allgemeinen kurz. In den Long-tail-Sparten sind Abwicklungsdauern über 40 Jahre keine Seltenheit.

Auch in der Finanzwirtschaft sind Heavy Tails von Bedeutung. So zeigten Benoit Mandelbrot und Eugene Fama, dass die Renditen von Aktien und anderen spekulativen Anlagen erheblich von der Normalverteilung abweichen und in der Regel heavy-tailed sind.[2][3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Grimm/Schlüchtermann S. 174 f.
  2. Mandelbrot, B. (1963), The Variation of Certain Speculative Prices, in: Journal of Business, Vol. 36, No. 4, S. 394--419.
  3. Fama, E.F. (1965), The Behavior of Stock-Market Prices, in: Journal of Business, Vol. 38, No. 1, S. 34--105.