Heavy-tailed-Verteilung

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Heavy-tailed-Verteilung (auch: Heavy-Tail-Verteilung[1]) bzw. endlastige Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Dichte langsamer als exponentiell fällt. Anschaulich besagt der Begriff, dass auf dem „Schwanz“ beziehungsweise den „Schwänzen“ der Verteilung mehr Masse liegt als beispielsweise bei der Exponentialverteilung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Zufallsgröße besitzt eine Heavy-tailed-Verteilung, wenn für ihre Verteilungsfunktion gilt:

[2]

Für die Teilmenge der subexponentiellen Verteilungen gilt zudem:

Sind unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, so gilt unter der Annahme, dass sie subexponentiell verteilt sind, dass die Verteilung der Summe der asymptotisch durch die Verteilung des Maximums der bestimmt ist[3].

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Versicherungsmathematik verwendet man Heavy-tail- (oder auch Heavy-tailed-) Verteilungen zur Modellierung von Großschäden und Extremereignissen. Haftpflichtsparten bezeichnet man wegen ihrer langen Abwicklungsdauer auch als sogenannte Long-tail-Sparten. Dagegen sind Versicherungssparten wie die Kaskoversicherung, die Hausrat- oder Glasversicherung sogenannte Short-tail-Sparten. Die Abwicklung der Schäden in diesen Short-tail-Sparten ist im Allgemeinen kurz. In den Long-tail-Sparten sind Abwicklungsdauern über 40 Jahre keine Seltenheit.

Auch in der Finanzwirtschaft sind Heavy Tails von Bedeutung. So zeigten Benoit Mandelbrot und Eugene Fama, dass die Renditen von Aktien und anderen spekulativen Anlagen erheblich von der Normalverteilung abweichen und in der Regel heavy-tailed sind.[4][5]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Grimm/Schlüchtermann S. 174 f.
  2. S. Foss, D. Korshunov, S. Zachary, An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions, Springer Science & Business Media, 21 May 2013
  3. Wolf-Rüdiger Heilmann und Klaus Jürgen Schröter: Grundbegriffe der Risikotheorie. VVW GmbH 2013
  4. Mandelbrot, B. (1963), The Variation of Certain Speculative Prices, in: Journal of Business, Vol. 36, No. 4, S. 394--419.
  5. Fama, E.F. (1965), The Behavior of Stock-Market Prices, in: Journal of Business, Vol. 38, No. 1, S. 34--105.