Heavy-tailed-Verteilung

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Heavy-tailed-Verteilung (auch: Heavy-Tail-Verteilung[1]) bzw. endlastige Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer unendlichen Varianz. Anschaulich besagt der Begriff, dass auf dem „Schwanz“ beziehungsweise den „Schwänzen“ der Verteilung mehr Masse liegt als beispielsweise bei der Normalverteilung. Die Verteilung einer Zufallsgröße X heißt je nach Bedingung short-, medium- oder heavy-tailed. Definiert man die bedingte mittlere Exzess-Funktion

 \operatorname{ES}_X(x):= \operatorname{E}[X-x \mid X \geq x] ,

so gilt

 X\;\text{ist}\;\begin{cases}\text{short-tailed}\\ \text{medium-tailed}\\ \text{heavy-tailed}\end{cases}\quad:\Longleftrightarrow\quad\lim_{x \to \infty} \operatorname{ES}_X(x) = \begin{cases}0\\ \text{const}\\ \infty\end{cases} .

Sind X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, so gilt unter Annahme, dass sie heavy-tailed sind, dass die Verteilung der Summe der X_n asymptotisch durch die Verteilung des Maximums der X_n bestimmt ist.

Interpretation[Bearbeiten]

Zur Illustration modelliere die Zufallsgröße X eine Wartezeit. Folgt X einer short-tailed Verteilung, so gilt: Je länger man bereits gewartet hat, desto kürzer die zu erwartende Restwartezeit. Folgt X einer medium-tailed Verteilung, so hat die bisherige Wartezeit keinen Einfluss auf die noch zu erwartende Restwartezeit. Folgt X dagegen einer long-tailed Verteilung, so gilt: Je länger man bereits gewartet hat, desto länger ist die noch zu erwartende Restwartezeit.

Anwendung[Bearbeiten]

In der Versicherungsmathematik verwendet man Heavy-tail- (oder auch Heavy-tailed-) Verteilungen zur Modellierung von Großschäden und Extremereignissen. Haftpflichtsparten bezeichnet man wegen Ihrer langen Abwicklungsdauer auch als sogenannte Long-tail-Sparten. Dagegen sind Versicherungssparten wie die Kaskoversicherung, die Hausrat- oder Glasversicherung sogenannte Short-tail-Sparten. Die Abwicklung der Schäden in diesen Short-tail-Sparten ist im Allgemeinen kurz. In den Long-tail-Sparten sind Abwicklungsdauern über 40 Jahre keine Seltenheit.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Grimm/Schlüchtermann S. 174 f.