Helmholtz-Spule

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Helmholtz-Spulen

Als Helmholtz-Spule bezeichnet man eine besondere Spulenanordnung, die auf den deutschen Physiker Hermann von Helmholtz (1821–1894) zurückgeht: Zwei kurze Spulen mit großem Radius R werden im Abstand R auf derselben Achse parallel aufgestellt und gleichsinnig von Strom durchflossen (bei gegensinnigem Stromfluss siehe Maxwell-Spule).

Das Feld jeder einzelnen Spule ist inhomogen. Durch die Überlagerung beider Felder ergibt sich zwischen beiden Spulen nahe der Spulenachse ein Bereich mit weitgehend homogenem Magnetfeld, das für Experimente frei zugänglich ist.

Es gibt Helmholtz-Spulen in verschiedenen Bauformen: zylindrisch, quadratisch, aber auch als 3 orthogonal aufgestellte Paare (dreidimensional). Mit der dreidimensionalen Anordnung kann man durch Variation des Stromverhältnisses zwischen den Spulenpaaren ein Magnetfeld beliebiger Richtung erzeugen und damit einen Gegenstand untersuchen, ohne diesen drehen zu müssen.

Anwendungen der Helmholtz-Spule[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Helmholtz-Spule für bis zu 64 kA/m (ca. 80 mT in Luft)

Vorteile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die erzeugte magnetische Feldstärke ist – wie bei jeder Luftspule – nicht nur linear vom Spulenstrom abhängig, sondern weniger ortsabhängig als in einer einzelnen schmalen Spule. Aus der Spulengeometrie, dem Strom und den Windungszahlen lässt sich die magnetische Feldstärke entlang der Achse analytisch berechnen. Daher ist die Helmholtz-Spule ideal für die Kalibrierung von Magnetometern, wie etwa Fluxgate-Magnetometern, einsetzbar.

Berechnung der magnetischen Flussdichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn der Ursprung des Koordinatensystems im Zentrum der Spule liegt, ergibt sich mit dem Biot-Savart-Gesetz für die magnetische Flussdichte im Vakuum entlang der Symmetrieachse für den Spezialfall von nur einer Windung ():

Feldverlauf einer einzelnen kurzen Spule

Die Flussdichte im Zentrum des Helmholtz-Spulenpaars ist die Überlagerung der Flussdichten zweier Kreisströme im Abstand :

wobei μ0 die magnetische Feldkonstante ist, I die Spulenstromstärke und R der Spulenradius.

Es lässt sich auch die allgemeine Flussdichte von Helmholtz-Spulen bestimmen.[1] Die Helmholtz-Spulen bestehen aus zwei Leiterschleifen (Stromfäden) mit den Windungszahlen und , durch die jeweils ein Strom bzw. fließt. Es existiert also eine Stromdichte (in den Zylinderkoordinaten ) von:

hierbei befindet sich das Zentrum der jeweiligen Spule bei bzw. auf der x-Achse.

Mit dem Biot-Savart-Gesetz lässt sich das Vektorpotential der Spule berechnen:

Dabei ist der Integrations- und der Aufpunkt, also der Punkt, an dem das Vektorfeld bestimmt wird. Für das Vektorpotential ergibt sich also unter Ausführung der trivialen Integrationen:

Mit kann die magnetische Flussdichte berechnet werden. Hierfür wird das Vektorpotential in die Komponenten der Zylindersymmetrie zerlegt:

,

sodass für die Einzelkomponenten gilt

Mit dem Rotationsoperator in Zylinderkoordinaten

lässt sich nun die Flussdichte berechnen:

Entsprechend ergeben sich die kartesischen Komponenten zu

Die so gefundenen analytischen Ausdrücke lassen sich nur in bestimmten Fällen weiter vereinfachen, da die enthaltenen elliptischen Integrale nur numerisch berechnet werden können.

Für den Fall, dass nur die Spulenachse betrachtet wird (), ergibt sich und

Im Spulenursprung () gilt entsprechend und

Helmholtz-Spulenpaar mit je N Windungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ursprung des Koordinatensystems liegt in der Mitte zwischen den Spulen. Der Strom wirkt N-fach im Vergleich zu Spulen mit je einer Windung.

Beispiel: I = 1,7 A; N = 130; R = 0,15 m

Feldverläufe bei verschiedenen Spulenabständen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Anordnung nach Helmholtz verschwinden in der Mitte die erste und die zweite Ableitung der Feldfunktion, nach den Seiten fällt die Feldstärke relativ schnell ab. Das ist in der untenstehenden Bildergalerie ersichtlich.

Größere Abstände ergeben ein größeres Experimentiervolumen, aber zur Spulenmitte hin abfallende Feldstärkewerte. Kleinere Abstände ergeben größere Feldstärken, aber ein kleineres Experimentiervolumen und die gemessenen Werte ergeben eine gute Übereinstimmung mit den gerechneten Werten. Mit Eisenfeilspänen kann im Experiment die gute Homogenität des Magnetfeldes in der Nähe der Spulenachse gezeigt werden.

Maxwell-Spule[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durchfließt der Strom die Spulen gegensinnig, so wird bei geeignet gewählter Geometrie im Inneren ein konstanter Feldgradient erzeugt. Ist der Abstand a der Spulen zueinander , dann verschwinden bei die zweite und die dritte Ableitung, die Feldfunktion ist dort also eine Gerade. Man nennt die Spulenanordnung dann Maxwell-Spule, manchmal auch Anti-Helmholtz-Spule.

Die Berechnung des Feldverlaufes entlang der Symmetrieachse (x-Achse) geschieht auf ganz analoger Weise wie im Fall gleicher Richtung der Kreisströme. Man erhält für Spulenpaare mit gleicher Windungszahl N:

Für den Feldgradienten im Zentrum gilt dann:

.

Bildgalerie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachfolgend sind gemessene oder errechnete Feldverläufe bei Helmholtz-Spulen dargestellt:

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Helmholtz coils – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. 9. Auflage. Springer Lehrbuch, 2011, ISBN 978-3-642-13448-7 (Aufgabe 3.2.3).