Helmholtz-Spule

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Helmholtz-Spulen

Als Helmholtz-Spule bezeichnet man eine besondere Spulenanordnung, die auf den deutschen Physiker Hermann von Helmholtz (1821–1894) zurückgeht: Zwei kurze Spulen mit großem Radius R werden im Abstand R auf derselben Achse parallel aufgestellt und gleichsinnig von Strom durchflossen (bei gegensinnigem Stromfluss siehe Anti-Helmholtz-Spule).

Das Feld jeder einzelnen Spule ist inhomogen. Durch die Überlagerung beider Felder ergibt sich zwischen beiden Spulen nahe der Spulenachse ein Bereich mit weitgehend homogenem Magnetfeld, das für Experimente frei zugänglich ist.

Es gibt Helmholtz-Spulen in verschiedenen Bauformen: zylindrisch, quadratisch, aber auch als 3 orthogonal aufgestellte Paare (dreidimensional). Mit der dreidimensionalen Anordnung kann man durch Variation des Stromverhältnisses zwischen den Spulenpaaren ein Magnetfeld beliebiger Richtung erzeugen und damit einen Gegenstand untersuchen, ohne diesen drehen zu müssen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Anordnung nach Helmholtz verschwinden in der Mitte die erste und die zweite Ableitung der Feldfunktion in alle Richtungen, am Rand fällt die Feldstärke relativ schnell ab. Die Helmholtz-Spule ist damit die einfachste Spulenanordnung um ein nahezu konstantes Magnetfeld innerhalb eines endlichen Volumens zu erzeugen und wird häufig in physikalischen Experimenten verwendet. Die erzeugte magnetische Feldstärke ist – wie bei jeder Luftspule – streng linear vom Spulenstrom abhängig. Aus der Spulengeometrie, dem Strom und den Windungszahlen lässt sich die magnetische Feldstärke entlang der Achse analytisch berechnen. Daher ist die Helmholtz-Spule ideal für die Kalibrierung von Magnetometern einsetzbar.

Größere Abstände als der Spulenradius R ergeben ein größeres Experimentiervolumen, aber zur Spulenmitte hin abfallende Feldstärkewerte. Kleinere Abstände ergeben größere Feldstärken, aber ein kleineres Experimentiervolumen.

Anwendungen der Helmholtz-Spule[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Helmholtz-Spule in einer Atomuhr

Berechnung der magnetischen Flussdichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Feldverlauf einer einzelnen kurzen kreisförmigen Spule (Leiterschleife)

Die magnetische Flussdichte einer Helmholtz-Spule ergibt sich als Summe der Flussdichten der beiden kreisförmigen Leiterschleifen. Diese sind durch das Biot-Savart-Gesetz berechenbar, was aber im Allgemeinen auf analytisch nicht lösbare elliptische Integrale führt. Auf der Symmetrieachse (z-Achse) beträgt das Feld einer einzelnen Leiterschleife, die um zentriert ist,

wobei die magnetische Feldkonstante, der Spulenradius, die Spulenstromstärke und die Windungszahl je Spule ist. Das gesamte Feld eines Spulenpaares mit gleichsinnigen Strömen und Spulenabstand beträgt daher

.

Die Flussdichte im Zentrum der Anordnung bei ist aufgrund der Spulensymmetrie eine gerade Funktion, das heißt dass alle Ableitungen ungerader Ordnung nach dort verschwinden. Insbesondere ist das Feld dort für beliebige Spulenabstände in linearer Näherung konstant. Die Helmholtz-Spule ist der spezielle Fall mit einer maximal homogenen Flussdichte im Zentrum der Anordnung, bei dem auch noch die zweite Ableitung verschwindet,

.

Diese Bedingung ist erfüllt für

,

also Abstand gleich Radius. Die Flussdichte im Zentrum beträgt dann . Um das Zentrum herum variiert die Feldstärke nur in vierter Ordnung .

Eine Helmholtz-Spule mit und erzeugt beispielsweise eine zentrale Flussdichte von .

Induktivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die beiden in Reihe geschalteten Spulenteile ergibt sich aufgrund der symmetrischen Anordnung der Ansatz . Dabei ist die Selbstinduktivität einer einzelnen Teilspule. Die Gegeninduktivität ergibt sich aus der magnetischen Kopplung beider Spulenteile aufeinander und wirkt auf beide Spulenteile gleich.

Es handelt sich um kurze Zylinderspulen, deshalb gilt für die Selbstinduktivität die Näherungsformel

.

ist die Länge einer Zylinderspule.

Die Gegeninduktivität lässt sich für die vorliegende Anordnung mit dem Neumann-Kurvenintegral berechnen. Nach der Integration ergibt sich die Formel

.

Insgesamt hat eine Helmholtz-Spule also die Induktivität

.

Bei einer Maxwell-Spule ergibt sich die Induktivität aus dem Ansatz . Die Gegeninduktivität fließt negativ in die Gesamtinduktivität ein, da sich die Magnetfelder destruktiv überlagern. Insgesamt also:

Variationen und Weiterentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadratische Helmholtzspule[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Praxis werden die runden Einzelspulen oft durch quadratische Leiterschleifen der Kantenlänge a ersetzt. Damit lassen sich ähnlich homogene Felder erzeugen. Der ideale Spulenabstand beträgt dann d=0,5445a[1][2], etwas größer als bei einer runden Helmholzspule mit Durchmesser a, da die quadratische Spule auch eine größere Fläche besitzt.

Anordnungen für noch homogenere Felder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Bereich homogenen Feldes ist im Vergleich zu den Gesamtabmessungen der klassischen Helmholtzspule klein. Daher versuchten viele Wissenschaftler, die Spulenanordnung zum Erzeugen homogener Felder zu verbessern. Es sind dies zum Beispiel:

  • Maxwell-Spule[3]: drei Einzelspulen, wobei die mittlere Spule einen größeren Durchmesser hat und von einem größeren Strom durchflossen wird
  • Braunbek-Spule[4]: vier Einzelspulen, wobei die inneren Spulen größere Durchmesser haben. Sie ist eine optimierte Version der Fanselau-Spule.[5]
  • Barker-Spule[6]: vier Einzelspulen gleichen Durchmessers, wobei die äußeren von größerem Strom durchflossen werden

Diese Anordnungen verbessern das Verhältnis zwischen Gesamtgröße und Volumen homogenen Feldes und steigern dadurch auch die Effizienz, denn die Stromwege verkürzen sich. Die Barker-Spule wird in Kernspintomografen eingesetzt, die Braunbek-Spule in geomagnetischen Laboren zur Simulation und Kompensation des Erdmagnetfeldes und auch interplanetarer Felder, u. a. zum Test von Raumfahrzeugen. Weiterhin werden damit durch Kompensation äußerer Felder magnetfeldfreie Räume geschaffen, u. a. um Magnetometer zu testen.[7][8]

Anti-Helmholtz-Spule[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durchfließt der Strom die Spulen gegensinnig, so ist das Feld im Zentrum null. Im Bereich um das Zentrum steigt das Feld in Achsenrichtung linear an, so dass die Spulenanordnung ein Gradientenfeld erzeugt. Diese Spulenanordnung wird Maxwell-Spule, manchmal auch Anti-Helmholtz-Spule genannt. Der optimale Abstand d der Einzelspulen zueinander hängt von den gewünschten Feldeigenschaften ab: Ein maximaler Feldgradient im Zentrum ergibt sich beim Abstand , also genau wie bei der optimalen Helmholtz-Spule. Ein möglichst homogener Gradient, bei dem die zweite und dritte Ableitung der Feldstärke verschwindet, entsteht hingegen bei einem Spulenabstand , allerdings mit ca. 25 % verringerter Gradientenstärke.

Die Berechnung des Feldverlaufes entlang der Symmetrieachse (z-Achse) geschieht in ganz analoger Weise wie im Fall gleicher Richtung der Kreisströme. Man erhält für Spulenpaare mit gleicher Windungszahl N:

Mit Spulenabstand gilt dann für den Feldgradienten im Zentrum:

.

Bildgalerie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachfolgend sind gemessene oder errechnete Feldverläufe bei Helmholtz-Spulen dargestellt:

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Helmholtz coils – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Carl Heller: Über die Erzeugung großräumiger homogener Magnetfelder zum Studium des Verhaltens von Magnetkompassen und Kompensiermitteln auf verschiedenen magnetischen Breiten. In: Deutsche Hydrografische Zeitschrift. 8, Nr. 4, 1955, S. 157–164. doi:10.1007/BF02019812.
  2. James Clerk Maxwell: Treatise on Electricity and Magnetism, Band 2. The Clarendon Press, Oxford 1873, ISBN 0-486-60636-8, S. 320.
  3. Werner Braunbek: Die Erzeugung weitgehend homogener Magnetfelder durch Kreisströme. In: Zeitschrift für Physik. 88, Nr. 5–6, 1934, S. 399–402. doi:10.1007/BF01343500.
  4. G. Fanselau: Die Erzeugung weitgehend homogener Magnetfelder durch Kreisströme. In: Zeitschrift für Physik. 54, Nr. 3–4, 1929, S. 260–269. doi:10.1007/BF01339844.
  5. J. R. Barker: New Coil Systems for the Production of Uniform Magnetic Fields. In: Journal of Scientific Instruments. 26, 1949, S. 273–275. doi:10.1088/0950-7671/26/8/307.
  6. http://www.serviciencia.es/folletos/Braunbek-Barker-Examples-1.pdf Prospekt der Fa. Serviciencia, S. L. / Spanien, abgerufen 2017-09-18
  7. http://www.igep.tu-bs.de/institut/einrichtungen/magnetsrode/ 3D-Braunbek-Spulensystem in Magnetsrode - einem geomagnetischen Laboratorium