Hertzsche Pressung

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Hertzsche Pressung zwischen zwei gekrümmten Körpern

Unter der Hertzschen Pressung (nach Heinrich Hertz) versteht man die größte Spannung, die in der Mitte der Berührungsfläche zweier elastischer Körper herrscht.

Werden zwei elastische Körper mit gewölbter Oberfläche (Zylinder oder Kugeln) gegeneinander gepresst, dann berühren sie sich im idealisierten Fall nur linien- oder punktförmig. Durch die Elastizität entsteht aber im realen Fall an der Berührungsstelle eine Abplattung und eine Berührungsfläche. Auf der Berührungsfläche entsteht in beiden Körpern eine charakteristische Spannungsverteilung (Flächenpressung), wobei die Spannung stets in der Mitte am höchsten ist.

Berühren sich zwei Kugeln, eine Kugel und eine Ebene oder zwei gekreuzte Zylinder, so entsteht eine Berührellipse. Bei Berührung zweier paralleler Zylinder oder eines Zylinders mit einer Ebene entsteht eine rechteckige, langgestreckte Berührungsfläche; man spricht hier auch von Walzenpressung.

Nach den Theorien des deutschen Physikers Heinrich Hertz können Größe und Form der Berührungsflächen sowie die Höhe und Verteilung der mechanischen Spannungen unter den Berührungsflächen berechnet werden. Nach Hertz wird die höchste Spannung, die in der Mitte der Berührungsfläche herrscht, auch Hertzsche Pressung genannt.

Die Höhe der Hertzschen Pressung hängt ab von der Kraft, mit der die beiden Körper aufeinander gepresst werden, von ihren Krümmungsradien und von ihrem Elastizitätsmodul.

Berechnung[Bearbeiten]

Voraussetzungen für die Berechnung der Flächenpressung nach den Hertzschen Gleichungen sind

  • linear-elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
  • Kontaktfläche eben und klein (gegenüber den Abmessungen der Körper)
  • Reibungsfreiheit, keine Schubspannungen in der Kontaktfläche
  • die Körper können als elastische Halbräume betrachtet werden

Allgemein[Bearbeiten]

Die Hertzsche Pressung bei Kontakt gekrümmter Oberflächen berechnet sich nach folgender Gleichung:


       p_{\mathrm{max}} = \frac{1} {\xi \cdot \eta}  \cdot \sqrt[3]{\frac{3F \cdot E^2 \cdot (\sum k)^2}{{{8\pi}^3  (1-{\nu}^2)^2}} }

wobei gilt:

 F -- Kraft zwischen den Körpern

 E -- E-Modul

Es gilt:


                \frac{1-{\nu}^2} {E} = \frac{1} {2}  \cdot \left(\frac{1-{\nu}_1^2} {E_1} + \frac{1-{\nu}_2^2} {E_2} \right)


 {\nu}_{1,2} -- Poissonzahl (auch: Querkontraktionszahl) Körper 1, Körper 2

 E_{1,2} -- E-Modul der Werkstoffe Körper 1, Körper 2


 \xi , \eta -- Beiwerte nach Hertz für die Berührung gekrümmter Oberflächen

 k -- Krümmung

Punktberührung Kugel - Kugel[Bearbeiten]

Für den einfachen Berührungsfall Kugel - Kugel (oder Ebene) gilt:


       p_{\mathrm{max}} = \frac{1} {\pi}  \cdot \sqrt[3]{\frac{1,5 \cdot F E^2}{{{r}^2  (1-{\nu}^2)^2}} }

und  r = \frac{r_1 r_2} {r_1 + r_2}


sowie  E = 2 \frac{E_1 E_2} {E_1 + E_2}

mit

 r_{1,2} -- Kugelradien Kugel 1, Kugel 2; Sonderfall Ebene:  r_2 \rightarrow \infty und damit  r = r_1

Linienberührung Zylinder - Zylinder[Bearbeiten]

Für den einfachen Berührungsfall Zylinder - Zylinder (oder Ebene) gilt:


       p_{\mathrm{max}} = \sqrt {\frac{F \cdot E}{2 \pi r l (1-{\nu}^2)} }

und  r = \frac{r_1 r_2} {r_1 + r_2}


sowie  E = 2 \frac{E_1 E_2} {E_1 + E_2}

mit

 l -- Berührungslänge der Zylinder

 F -- wirkende Normalkraft in N

 r_{1,2} -- Zylinderradien Zylinder 1, Zylinder 2; Sonderfall Ebene:  r_2 \rightarrow \infty und damit  r = r_1

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]