Hexaeder

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Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron, „Sechsflächner“, bezeichnet allgemein einen Polyeder mit sechs Begrenzungsflächen. Dabei handelt es sich im Allgemeinen nicht um einen regulären platonischen Vielflächner, sondern einen beliebigen von sechs ebenen Flächen begrenzten Polyeder. Im Speziellen, insbesondere im Zusammenhang mit platonischen Körpern, handelt es sich um das regelmäßige Hexaeder bzw. den Würfel mit den 6 kongruenten Flächen.

Graphentheoretische Betrachtungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unterscheidet man nach der Struktur (genauer: nach dem zugrundeliegenden Kantengraphen, so dass z. B. ein Parallelepiped und ein Pyramidenstumpf mit vierseitiger Grundfläche nicht von einem Würfel zu unterscheiden, dagegen all diese hingegen von einer Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche), so gibt es nur sieben graphentheoretisch verschiedene Typen konvexer Hexaeder[1]:

Hexahedron1.svg
Hexahedron2.svg
Hexahedron3.svg
Hexahedron4.svg
Flächen: 4, 4, 4, 4, 4, 4
Kanten: 12,  Ecken: 8
Flächen: 5,  3, 3, 3, 3, 3
Kanten: 10,  Ecken: 6
Flächen: 5,  4, 4,  3, 3, 3
Kanten: 11,  Ecken: 7
Flächen: 5, 5,  4, 4,  3, 3
Kanten: 12,  Ecken: 8
Würfel, Quader, Parallelepiped, Rhomboeder, Trigonales Trapezo­eder, Pyramiden­stumpf mit vier­eckiger Grund- und Deckfläche Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche
Hexahedron5.svg
Hexahedron6.svg
Hexahedron7.svgHexahedron7a.svg
Flächen: 3, 3, 3, 3, 3, 3
Kanten: 9,  Ecken: 5
Flächen: 4, 4, 4, 4,  3, 3
Kanten: 11,  Ecken: 7
Flächen: 4, 4,  3, 3, 3, 3
Kanten: 10,  Ecken: 6
Doppeltetraeder Dieser Körper weist Chiralität auf:
Es gibt eine „linkshändige“ und eine „rechtshändige“ Variante,
die durch Ebenenspiegelung auseinander hervorgehen.

Betrachtet man auch nichtkonvexe Hexaeder, so kommen noch die folgenden drei Typen mit „Auskerbung“ dazu:

Hexahedron8.svg
Hexahedron10.svg
Hexahedron9.svg
Flächen: 4, 4,  3, 3, 3, 3
Kanten: 10,  Ecken: 6
Flächen: 5, 5,  3, 3, 3, 3
Kanten: 11,  Ecken: 7
Flächen: 6, 6,  3, 3, 3, 3
Kanten: 12,  Ecken: 8

Würfel-Typ[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vom Würfel-Typ (6 Flächen, 12 Kanten, 8 Ecken) gibt es folgende Formen:

Grafik Hexahedron.png Cuboid no label.svg Trigonal trapezohedron.png Trigonal trapezohedron gyro-side.png Usech kvadrat piramid.png Parallelepiped 2013-11-29.svg Rhombohedron.svg
Name Würfel Quader Trigonal trapezohedron Trigonal trapezohedron Quadrilateral Kegelstumpf Parallelepiped Rhombohedron
Flächen Quadrat drei Paare von
Rechtecken
kongruente Rhomben kongruente Vierecke quadratischer
Pyramidenstumpf
drei Paare von
Parallelogrammen
drei Paare von
Rhomben
Symmetrien Oh, [4,3], (*432)
order 48
(8 Spiegelungen,
3! Achspermutationen)
D2h, [2,2], (*222)
order 8
(8 Spiegelungen,
wenn alle Achsen unterschiedlich lang)
D3d, [2+,6], (2*3)
order 12
D3, [2,3]+, (223)
order 6
C4v, [4], (*44)
order 8
Ci, [2+,2+], (×)
order 2

Hexaeder in der Chemie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine organische Verbindung, die wie ein Würfel aufgebaut ist, ist das nach dem englischen Cube (englisch für Würfel) benannte Cuban.
  • Kubische Kristallsysteme kommen bei der Beschreibung des geometrischen Aufbaus von Kristallen vor, wie zum Beispiel beim Kochsalz (Natriumchlorid-Struktur).

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Beweis zur Existenz von genau sieben konvexen Hexaedern: Anatole Beck, Michael Bleicher, Donald Crowe: Excursions into Mathematics. 1969, S. 29–30.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Hexaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Hexaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Martin Gardner: Denkspiele von anderen Planeten. Hugendubel, München 1986, ISBN 3-88034-295-4, S. 134.