Higgs-Bündel

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In der Mathematik sind Higgs-Bündel ein Hilfsmittel in der Darstellungstheorie von Flächengruppen und Fundamentalgruppen komplexer Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Nigel Hitchin eingeführt und wegen der Analogie zu Higgs-Bosonen nach Peter Higgs benannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Higgs-Bündel ist ein Paar bestehend aus einem holomorphen Vektorbündel über einer Riemannschen Fläche und einem Higgs-Feld, d. h. einer -wertigen holomorphen 1-Form .

Stabilität, Polystabilität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Higgs-Bündel heißt stabil, wenn für alle -invarianten holomorphen Unterbündel die Ungleichung

gilt. Hierbei bezeichnet den Grad eines Vektorbündels und seinen Rang, also die Dimension seiner Fasern. (Man beachte, dass die Ungleichung nur für -invariante Unterbündel gelten soll, ein stabiles Higgs-Bündel also nicht notwendig ein stabiles Vektorbündel sein muss.)

Ein Higgs-Bündel heißt polystabil, wenn es eine direkte Summe

stabiler Higgs-Bündel mit

für ist.

Darstellungstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufbauend auf Resultaten von Corlette und Donaldson bewiesen Hitchin und Simpson die folgenden Äquivalenzen für Riemannsche Flächen :

Höherdimensionale Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über höherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten definiert man ein Higgs-Bündel als ein Paar aus einem holomorphen Vektorbündel über und einer -wertigen holomorphen 1-Form , die die Gleichung erfüllt.

(Im Falle Riemannscher Flächen ist diese Gleichung trivialerweise erfüllt.)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Corlette, Kevin: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differential Geom. 28 (1988), no. 3, 361–382.
  • Donaldson, Simon: Twisted harmonic maps and the self-duality equations. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 127–131.
  • Hitchin, Nigel: The self-duality equations on a Riemann surface. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 59–126.
  • Simpson, Carlos: Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), no. 4, 867–918.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]