Hilbert-Kurve

In der Mathematik ist die Hilbert-Kurve eine stetige Kurve, die – durch Wiederholung ihres Konstruktionsverfahrens – jedem beliebigen Punkt einer quadratischen Fläche beliebig nahekommt und die Fläche vollständig ausfüllt. Die Hilbert-Kurve ist eine sogenannte raumfüllende oder FASS-Kurve. Sie wurde 1891 von dem deutschen Mathematiker David Hilbert entdeckt. Die Möglichkeit, mit einer stetigen eindimensionalen Kurve ein zweidimensionales Gebiet komplett abdecken zu können, war den Mathematikern des neunzehnten Jahrhunderts neu (siehe auch Monsterkurve).

Die euklidische Länge der Kurve $H_{n}$ ist $l_{n}=2^{n}-{\frac {1}{2^{n}}}$, d.h. wächst exponentiell mit $n$. Ihre Hausdorff-Dimension ist aufgrund der Eigenschaft, eine raumfüllende Kurve zu sein, exakt 2.

Mit der Entwicklung von Parallelrechnern haben raumfüllende Kurven wie die Hilbert-Kurve eine Anwendungsmöglichkeit erhalten, indem man sie zur Bestimmung der Lastverteilung der einzelnen Prozessoren des Parallelrechners nutzt.

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  Hilbert-Kurve 1. Ordnung

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  Hilbert-Kurven 1. und 2. Ordnung

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  Hilbert-Kurven 1. bis 3. Ordnung

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  3D-Hilbert-Kurven 1. bis 3. Ordnung

Auch in höheren Dimensionen lassen sich Hilbertkurven generieren. Somit ist es möglich, mit einer stetigen eindimensionalen Kurve, einen z.B. dreidimensionalen Raum vollständig abzudecken. Die Faltung des Genoms ähnelt einer dreidimensionalen Hilbertkurve.

Siehe auch

• Sierpiński-Kurve
• Peano-Kurve
• Z-Kurve
• Quadtree

Weblinks

 Commons: Hilbert-Kurve – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• Java-Applet zur Konstruktion von Hilbert-Kurven
• David Hilbert (Memento vom 24. Dezember 2007 im Internet Archive)
• Hilbert- und Peano-Kurve
• Raumfüllende Kurven (Memento vom 17. März 2005 im Internet Archive) TUM Informatik (PDF-Datei; 637 kB)
• Die DNA liegt in einer dreidimensionalen Hilbertkurve im Zellkern vor
• Video mit 360-Grad-Flug um eine dreidimensionale Hilbert-Kurve
• Interaktive Demonstration der Hilbert-Kurve