Hilbert-Kurve

Abb. 1: Hilbert-Polygone in sieben Iterationen, dazu die Hilbert-Kurve

In der Mathematik ist die Hilbert-Kurve eine (stetige) Kurve, die, wie in der nebenstehenden animierten Abb. 1 veranschaulicht, als Grenzkurve von Polygonzügen die Fläche eines Quadrats vollständig ausfüllt. Sie ist eine sogenannte FASS-Kurve, somit eine raumfüllende Kurve (engl. space-filling curve, abgekürzt SFC) und wurde 1891 von dem deutschen Mathematiker David Hilbert entdeckt. Die Möglichkeit, mit einer stetigen eindimensionalen Kurve ein zweidimensionales Gebiet komplett abdecken zu können, war den Mathematikern des neunzehnten Jahrhunderts neu (siehe auch Monsterkurve).

Die Hilbert-Kurve wird durch rekursive Iteration definiert und konstruiert. Die $n$-te Rekursionsstufe wird Hilbert-Kurve der $n$-ten Iteration, $H_{n}$, und der die Teilquadrate verbindende Polygonzug $P_{n}$ Hilbert-Polygon der $n$-ten Iteration genannt. Die Hilbert-Kurven und die Hilbert-Polygone endlicher Iterationen haben denselben Grenzwert, nämlich die Hilbert-Kurve im engeren Sinn. Die euklidische Länge des Hilbert-Polygons $P_{n}$ ist $(4^{n}-1)\,2^{-n}=2^{n}-2^{-n}$, das heißt, sie wächst mit der Nummer $n$ der Iteration über alle Grenzen. Die Hilbert-Kurve hat im Limes eine Hausdorff-Dimension von exakt 2, genau wie das Quadrat.

Mithilfe der Hilbert-Kurve endlicher Iteration kann man die Teilquadrate und mithilfe des Limes die Punkte im Quadrat in eine lineare Reihenfolge bringen, die Hilbert-Ordnung genannt wird. Mit ihr lassen sich (effiziente) Verfahren, die auf einer linearen Ordnung beruhen, ins Mehrdimensionale übertragen. Dazu gehört binäres Suchen, binärer Suchbaum, Skip-Liste und andere.

Abb. 2: Farbkodierte Entfernungstabelle von Orten auf der Hilbert-Kurve der 4. Iteration

Beim direkten Zugriff steht die Hilbert-Ordnung in Konkurrenz zu einem Zugriff, bei dem die linearen Ordnungen der Dimensionen in unterschiedlicher Rangigkeit zu einer lexikographischen Ordnung hintereinander geschaltet sind – im internen Speicher über ein mehrfach indiziertes Feld resp. im externen Speicher per wahlfreien Zugriff (Random Access). Wenn sich dies gut organisieren lässt, schneidet sie etwas schlechter ab. Sie ist aber überlegen, wenn es sich um eine ungefähre Suche handelt, an die sich eine sequentielle Suche anschließt, bei der Nachbarschaftsbeziehungen (engl. clustering) vorteilhaft ausgenutzt werden können. Dies ist bei $d$-dimensionalen Räumen $\mathbb {R} ^{d}$, bei denen Nachbarschaft durch die euklidische Metrik definiert ist, häufig der Fall – beispielsweise, wenn auf geographische Merkmale eines Objekts über die Schlüssel Länge und Breite zugegriffen werden soll. Die Hilbert-Kurve ist beliebt aufgrund ihrer guten Nachbarschaftserhaltung. Bei der Z-Kurve ist die Rechnung geringfügig einfacher, aber die Nachbarschaftserhaltung deutlich schlechter.

Die Zuordnung $h_{n}$ der Hilbert-Kurve einer (endlichen) $n$-ten Iteration ist umkehrbar und kann zu beliebiger Feinheit gesteigert werden. Dieses und die gute Nachbarschaftserhaltung hat eine Vielfalt von Anwendungen der Hilbert-Kurve in der Informatik eröffnet, so in der Bildverarbeitung, Datendarstellung, im Hochleistungsrechnen und in anderen Gebieten.

Konstruktion

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  Abb. 3a: 1. Iteration $H_{1}$ der Hilbert-Kurve

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  Abb. 3b: Hilbert-Kurve $H_{2}$ der 2. Iteration

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  Abb. 3c: Hilbert-Kurve $H_{3}$ der 3. Iteration

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  Abb. 3d: 3D-Hilbert-Kurven, 1. bis 3. Iteration

Die Abb. 3a bis 3c aus dem definierenden Artikel zeigen die drei ersten Iterationen der Hilbert-Kurve. Bei der $n$-ten Iteration bringen $4^{n}$ Nummern die $4^{n}$ Intervalle (Teilstrecken der Linie oben in den Grafiken) und die $4^{n}$ Quadrate mit gleichen Nummern zur Entsprechung. Die verstärkten polygonalen Linien $P_{n}$ bringen genau diese Reihenfolge der Quadrate heraus.

Eine nachfolgende Iteration verfeinert – bei Intervallen wie bei Quadraten – die Schachtelung um den Faktor 4.

Iterationsschritt

Die Konstruktion der Hilbert-Kurve als einer raumfüllenden Kurve

${\begin{array}{llllll}h\;\colon &{\mathcal {I}}:=[0,1]:=\{t\mid 0\leq t\leq 1\}&\to &{\mathcal {I}}^{d}&=&\;\;[0,1]\times [0,1]\times \dotso \\&t&\mapsto &h(t)&=&(\;\;\;\underbrace {x\;\;\;\;,\;\;\;\;\,y\;\;\;\;,\;\dotso } _{d{\text{ Komponenten}}}\;\;\;)\\\end{array}}$

beruht auf einem rekursiven Verfahren:

1. Das Verfahren beginnt mit dem (mehrdimensionalen Einheits-Intervall) $[0,1]^{d}={\mathcal {I}}^{d}$ als dem zu füllenden $d$-dimensionalen Gebiet.
2. Jedes Gebiet wird aufgeteilt in $2^{d}$ kongruente Teilgebiete ($d$-dimensionale Intervalle) der halben Seitenlänge und auf der Eingabeseite ein Intervall in $2^{d}$ gleich lange Teilintervalle. Das Verfahren überführt damit 1D-Schachtelungen von Intervallen in 2D-Schachtelungen von Quadraten (oder in 3D-Schachtelungen von Würfeln), ist also inklusionserhaltend.
3. Für jedes Teilgebiet ist eine raumfüllende Kurve zu finden, die durch verkleinerte Verschiebung, Spiegelung und/oder Rotation der Vorgängerkurve gebildet wird.   (Prinzip der Selbstähnlichkeit)
4. Die Spiegelungs- und Rotationsoperationen lassen sich so wählen, dass sich die $2^{d}$ Teilkurven zu einer einzigen gerichteten Kurve zusammenfügen.

Eine Hilbert-Kurve wird wesentlich durch die Reihenfolge charakterisiert, in der die Teilgebiete hintereinander aufgesucht (traversiert) werden. Mit wachsender Dimensionszahl $d$ wächst die Anzahl der unterschiedlichen Hilbert-Kurven, die sich dann auch in ihrer Nachbarschaftserhaltung stark unterscheiden können.

Dieser Artikel beschränkt sich fast ausschließlich auf die Dimensionszahl $d=2$, also auf die Abbildung des Einheitsintervalls ${\mathcal {I}}$ auf das Einheitsquadrat ${\mathcal {Q}}:={\mathcal {I}}^{2}$. Bei dieser Dimensionszahl treten alle einschlägigen mathematischen Phänomene bereits in Erscheinung.

Während die Hilbert-Kurve (auf der Ausgabeseite) ein „Teilquadrat“ durchläuft (füllt), soll auch der Parameter $t$ auf der Eingabeseite das ihm entsprechende Teilintervall durchlaufen. Dies entspricht der Vorgabe, dass die Hilbert-Kurve in allen Bereichen »gleich schnell« voranschreitet.

Um dies sicherzustellen, wird als Intervallschachtelung auf der Parameterseite die („4-adische“) Darstellung von $t=:0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\tau _{3}\dotso \in {\mathcal {I}}$ im Quaternärsystem mit $\tau _{n}\in \{0,1,2,3\}$ gewählt. Es sei $t_{n}:=0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso \tau _{n}$ gesetzt, so dass

$\{t\mid t_{n}\leq t<t_{n}+4^{-n}\}\;=\;[t_{n},\,t_{n}+4^{-n}[\;\;=\;[\,0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso \tau _{n},\;0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso \tau _{n}{\overline {3}}\,[$    

ein Intervall in der $n$-ten Schachtelung des Parameters $t$ ist. Auf der Seite des Quadrats (Ausgabeseite) werden die Koordinaten $x=:0_{2}.\!\xi _{1}\xi _{2}\xi _{3}\dotso \in {\mathcal {I}}$ und $y=:0_{2}.\!\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}\dotso \in {\mathcal {I}}$ im Binärsystem („2-adisch“) dargestellt mit $\xi _{n},\eta _{n}\in \{0,1\}$. Die (abbrechenden) Koordinaten $(x_{n},y_{n})\in {\mathcal {I}}^{2}={\mathcal {Q}}$ mit $x_{n}:=0_{2}.\!\xi _{1}\xi _{2}\dotso \xi _{n}$ und $y_{n}:=0_{2}.\!\eta _{1}\eta _{2}\dotso \eta _{n}$ stehen dabei für das Teilquadrat, das diese Koordinaten zur linken unteren Ecke hat. Und die Folge der durch ${\bigl (}(x_{n},y_{n}){\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }$ spezifizierten Quadrate, die die Seitenlänge $2^{-n}$ und die Fläche $4^{-n}$ haben, macht eine 2D-Intervallschachtelung in der Ebene aus. Diese $d$D-Schachtelungen seien als die „Rasterschachtelung“ $R:={\bigl (}R_{n}{\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }$ (der Hilbert-Kurve) bezeichnet.

Die $n$-te Iteration $H_{n}$ der „Hilbert-Kurve“ ist eine geordnete Folge von $4^{n}$ an genau einer Quadratseite mit dem Folgequadrat zusammenstoßenden Quadraten (oder deren linken unteren Eckpunkten resp. deren Mittelpunkten). Diese Folge wird am besten durch einen gerichteten Polygonzug von Quadratmittelpunkt

${\bigl (}{\dot {x}}_{n}(t),{\dot {y}}_{n}(t){\bigr )}:={\bigl (}x_{n}(t)+2^{-n-1},y_{n}(t)+2^{-n-1}{\bigr )}$

zu Quadratmittelpunkt (Parameter $t^{\prime }:=t+4^{-n}$) verdeutlicht. Dieser Polygonzug $P_{n}$ enthält alles Wichtige und wird häufig als das Hilbert-Polygon (engl. auch approximating curve und Hilbert pseudo curve) der $n$-ten Iteration bezeichnet (Beispiele finden sich in den Hilbert-Kurven der 1. bis 3. Iteration der obigen Abbildungen).

Polygonzug

Im Folgenden wird gezeigt, wie die $4^{n}$ Quadrate eines Rasters $R_{n}$ sämtlich in eine Reihenfolge $0,1,2,\dotso ,4^{n}-1$ gebracht werden, derart, dass sie bei wachsendem $n$ immer kleiner werden, einander näher rücken und im Limes eine Kurve bilden.

Im Sinn des obigen Programms sei rekursiv angenommen, dass in einem Teilquadrat $\in R_{n}$ ein Kurvenpunkt der selbstähnlichen Hilbert-Kurve berechnet ist. Es geht nun darum, diesen Punkt (resp. dieses Teilquadrat) so zu den anderen drei Teilquadraten in das Quadrat $\in R_{n-1}$ zu holen, dass alle solche Punkte zusammen genommen eine zusammenhängende Kurve (resp. eine zusammenhängende Folge von Teilquadraten des Rasters $R_{n}$) ergeben. Eine solche Transformation lässt sich zerlegen in:

die Verkleinerung des Quadrats linear um den Faktor ${\tfrac {1}{2}}$,	(Skal)
eine (die Hilbert-Kurve charakterisierende) Parallelverschiebung und	(Parv)
eine Isometrie (= orthogonale Abbildung = Drehung und/oder Spiegelung).	(Ausr)

Für die Wahl der passenden Drehungen und/oder Spiegelungen ist die Festlegung hilfreich, wo ein Quadrat einer Rasterschachtelung $R_{n}$ von der Kurve betreten und wo es verlassen wird. Bei der Hilbert-Kurve sind dies die Ecken genau einer Quadratseite. Da es auch auf die Richtung und Orientierung ankommt, werde dieses Charakteristikum eines Quadrats im Raster mit dem Begriff „Ausrichtung“ (engl. orientation, state) versehen und die Ausrichtung „hoch—rechts—runter“ (in Koordinaten $\scriptstyle {\underset {y}{\uparrow }}{\underset {x}{\rightarrow }}{\underset {y}{\downarrow }}$ resp. die Strecke ${(0,0){\underline {\color {Mulberry}\bullet \!\!\!\color {Green}\to }}(1,0)}$ für „Eintritt links unten—Austritt rechts unten“) mit dem Buchstaben $\mathbf {A}$ gekennzeichnet.

Aber auch die bloße Platzierung des Teilquadrats hängt von der Ausrichtung ab. Ist das große Quadrat $\in R_{n-1}$ (links in der Abbildung 4) gemäß $\mathbf {A}$ ausgerichtet, dann wird bei der Hilbert-Kurve das Quadrat $\in R_{n}$ abhängig von der Quaternärziffer $\tau =\tau _{n}$ in eines der vier Teilquadrate platziert, und zwar platziert die Quaternärstelle $\tau =0$ nach links unten, $\tau =1$ nach links oben, $\tau =2$ nach rechts oben und $\tau =3$ nach rechts unten, also nach dem „Grundmuster“ (engl. base pattern oder basic pattern) . Ein Grundmuster für die 3-dimensionale Hilbert-Kurve ist (s. a. den Abschnitt Ausblick auf 3 Dimensionen).

Andere Ausrichtungen (als $\mathbf {A}$, und auch Platzierungsmuster) lassen sich durch eine vorgeschaltete Isometrie aus der Diëdergruppe $D_{4}$ des Quadrats darstellen.

Die zur Herstellung des einfachen Zusammenhangs (und damit der Stetigkeit im Limes) erforderlichen Drehungen und/oder Spiegelungen sind ebenfalls Isometrien aus $D_{4}$ und zusammen mit der Platzierung auszuführen. Diese Kombination wird im folgenden Abschnitt unter dem Begriff „Transformation“ beschrieben.

Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das Einheitsquadrat

Abb. 4: Die Einbettung des Teilquadrats der $n$-ten Iteration rechts resp. eines seiner Punkte ${\color {Mulberry}\bullet }$ in das 4 mal so große Quadrat links – in welches Teilquadrat und wie, wird von der Quaternärziffer $\tau :=\tau _{n}$ abhängig gemacht.

Um den Wechsel der Ausrichtung von einer Iteration zur nächsten präzise zu erfassen, sei angenommen, dass beide Quadrate, das große (links in der Abbildung 4) wie das Teilquadrat (rechts) gleich, bspw. gemäß $\mathbf {A}$, ausgerichtet sind.

Die benötigten vier Transformationen hängen von der Quaternärziffer $\tau \in \{0,1,2,3\}$ ab und seien mit $T_{0},T_{1},T_{2}$ und $T_{3}$ bezeichnet:

$T_{1}\ :=\ (x,y)\mapsto {\bigl (}{\tfrac {x}{2}},{\tfrac {y+1}{2}}{\bigr )}$	$T_{2}\ :=\ (x,y)\mapsto {\bigl (}{\tfrac {x+1}{2}},{\tfrac {y+1}{2}}{\bigr )}$
$T_{0}\ :=\ (x,y)\mapsto {\bigl (}{\tfrac {y}{2}},{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}$	$T_{3}\ :=\ (x,y)\mapsto {\bigl (}{\tfrac {2-y}{2}},{\tfrac {1-x}{2}}{\bigr )}$

Alle Transformationen skalieren zunächst die übergebenen Koordinaten $(x,y)$ des Punktes mit dem Faktor ${\tfrac {1}{2}}$, da die Teilquadrate die halbe Seitenlänge haben, und enthalten eine Verschiebung in das durch $\tau$ (s. o.) bestimmte Teilquadrat. Zudem ist von einer Transformation je nach Lage ggf. eine (von $\tau$ abhängige) Viertelrotation, Spiegelung, d. h. eine Kongruenzabbildung $\in D_{4}$ durchzuführen:

• Bei $\tau \!=\!0$ kommt die Transformation $T_{0}$ zum Zuge. Sie spiegelt ihr Argument an der »Hauptdiagonalen« (strichpunktiert in Abbildung 4), wodurch sich der Drehsinn des Quadrats ändert. Die Eintrittsecke ins Teilquadrat (links unten) bleibt erhalten.
  (Alle Übertritte von einem Quadrat zum nächsten sind in der Abbildung 7 als kurze blaugrüne Pfeile vom Grundmuster des einen Quadrats diagonal zur Austrittsecke und von der Eintrittsecke des anderen Quadrats diagonal zu dessen Grundmuster dargestellt.)
  Die Austrittsecke dieses Teilquadrats ist nachher links oben und führt zum nächsten Teilquadrat mit $\tau \!=\!1$.
• Die Zielquadrate bei den Transformationen $T_{1}$ und $T_{2}$ haben dieselbe Ausrichtung $\mathbf {A}$ mit Eintrittsecke links unten und Austrittsecke rechts unten, daher ist keine Spiegelung (und keine Drehung) erforderlich. Jedoch wird die Kurve skaliert in je eines der oberen Teilquadrate verschoben.
  $T_{1}$ verschiebt bei $\tau \!=\!1$ die Kurve um ${\tfrac {1}{2}}$ in $y$-Richtung, also ins linke obere Teilquadrat. $T_{2}$ verschiebt für $\tau \!=\!2$ die Kurve diagonal ins rechte obere Teilquadrat.
  Die Eintrittsecke des Teilquadrats mit $\tau \!=\!1$ fällt mit der Austrittsecke von $\tau \!=\!0$ und die Austrittsecke von $\tau \!=\!1$ mit der Eintrittsecke von $\tau \!=\!2$ zusammen.
• Die Transformation $T_{3}$ spiegelt für $\tau \!=\!3$ ihr Argument an der »Nebendiagonalen« (strichpunktiert in Abbildung 4), wodurch sich der Drehsinn des Quadrats ändert. Danach wird das gespiegelte Ergebnis um ${\tfrac {1}{2}}$ in $x$-Richtung, also ins rechte untere Teilquadrat verschoben, so dass die Eintrittsecke rechts oben liegt – an der Stelle der Austrittsecke des vorangehenden Teilquadrats mit $\tau \!=\!2$ – und die Austrittsecke mit der Austrittsecke des Ausgangsquadrates übereinstimmt (rechts unten).

Ersichtlich sind die Punkte $(x,y)$ über die sie enthaltenden Quadrate in eine Reihenfolge gebracht, die der Reihenfolge der Intervalle des Parameters $t$ entspricht – sowohl bezüglich der 4 Teilquadrate $\in R_{n}$ als auch bei den Anschlüssen zwischen zwei Quadraten $\in R_{n-1}$.

Dabei findet der Übertritt von einem Quadrat zum nachfolgenden Nachbarquadrat immer nur über eine gemeinsame Quadratseite statt (s. kurze blaugrüne Pfeile in der Abbildung 7), sodass sich beim Polygonzug $P_{n}$ von Quadratmittelpunkt zu Quadratmittelpunkt ausschließlich Teilstrecken gleicher Länge, der Seitenlänge, ergeben, die alle zu den Koordinatenachsen parallel und miteinander in einer linearen Kette verbunden sind – mit der offensichtlichen Konsequenz, dass die Hilbert-Kurve im Limes stetig ist. Die Teilstrecken des Polygons erfahren dabei nur Richtungswechsel $\in \{-90^{\circ },0^{\circ },90^{\circ }\}$.

Die Abbildung 4 zeigt darüber hinaus, dass ausgehend von der Ausrichtung $\mathbf {A}$ zwei neue (absolute) Ausrichtungen $\mathbf {D}$ (:= „rechts—hoch—links“) und $\mathbf {B}$ (:= „links—runter—rechts“) hinzukommen, und die Abbildungen 7 und 5, dass nur noch eine weitere Ausrichtung (:= „runter—links—hoch“), genannt $\mathbf {C}$, fehlt, so dass es bei insgesamt vier Ausrichtungen bleibt. Sie seien im Folgenden in der Menge $\mathbf {V} :=\{\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\mathbf {D} \}$ zusammengefasst. Die zugehörige Gruppe $V$ der benötigten Isometrien ist eine Untergruppe der Diedergruppe $D_{4}$ des Quadrats, wird erzeugt von der Drehung um 180° (Spiegelung am Quadratmittelpunkt) und einer Spiegelung an einer Diagonalen, hat also die Gruppenordnung vier, den Exponenten zwei und ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.

Abb. 5: Hilbert-Polygone der ersten bis dritten Iteration.
Die Quadratmittelpunkte sind in der Reihenfolge des Hilbert-Index (Schrift gedreht) miteinander verbunden.
Der Hilbert-Index eines Teilquadrates mit Mittelpunkt $(x,y)$ findet sich am Schnittpunkt von $x$-Spalte mit $y$-Zeile.
(Alle Angaben im Binärsystem)
Blass in den Quadratmitten die „absolute Ausrichtung“.
Bei 8 Punkten der finalen Hilbert-Kurve sind zugehörige Werte des Parameters $t=h^{-1}(x,y)$ angegeben (grün).
Der Mittelpunkt $(\scriptstyle ^{1}\!/_{2},^{1}\!/_{2}\textstyle )$ des großen (und jedes) Quadrats ist ein Tripelpunkt. Er hat $t=h^{-1}(\scriptstyle ^{1}\!/_{2},^{1}\!/_{2}\textstyle )\,=\,\scriptstyle ^{2}\!/_{12},^{6}\!/_{12},^{10}\!/_{12}$.

In der Abbildung 5 ist das große Quadrat, das Quadrat der $0$-ten Iteration (= Quadrat des Rasters $R_{0}$), gemäß $\mathbf {A}$ ausgerichtet – und dementsprechend in seiner Mitte gekennzeichnet. Die relativen Ausrichtungen der Quadrate höherer Iterationen sind rekursiv von Iteration zu Iteration den Regeln dieses Abschnitts entsprechend entwickelt und die Ergebnisse als absolute Ausrichtungen im Zentrum der Quadrate eingetragen. Als solche sind sie auf die initiale (absolute) Ausrichtung, hier $\mathbf {A}$, des Ausgangsquadrates bezogen. Die absolute Ausrichtung eines Quadrats ist also die Akkumulation (Komposition, Verkettung) der relativen Ausrichtungen aller seiner rekursiven Vorgänger mit der initialen Ausrichtung am Rekursionsanfang.

Bemerkung 1

Weil im vorstehenden Abschnitt das Quadrat der Iteration $\in R_{n}$ »zeitlich« vor dem großen Quadrat $\in R_{n-1}$ als »vorhanden« angesehen wird, könnte man anzunehmen versucht sein, dass die (Ausrichtungen der) großen Quadrate (links) der höherwertigen Ziffern durch diejenigen späterer Iterationen (rechts) beeinflusst würden. Das Gegenteil ist jedoch der Fall:

• Die absolute Ausrichtung des großen Quadrats beeinflusst (zusammen mit der Quaternärziffer $\tau _{n}$) direkt die absolute Ausrichtung des Teilquadrats.

Das kann man übrigens schon beim Zeichnen von Hilbert-Polygonen zweier aufeinander folgender Iterationen feststellen, spielt für die Umkehrbarkeit der $h_{n}$ (s. Abschnitt #Hilbert-Polygon) eine große Rolle und wirkt sich auf die (Art der) Stetigkeit von $h$ (s. Abschnitt #Hilbert-Kurve) aus. Diese Abhängigkeit ist in der tabellarischen Abbildung 7 und im gleichwertigen Übergangsdiagramm der Abbildung 8 für alle vier vorkommenden Varianten (= Ausrichtungen) herausgearbeitet. Eine darauf basierende explizite Rekursionsformel für $h$ wird im entsprechenden Abschnitt vorgestellt.

Diskrete Mathematik

In diesem Kapitel wird mit $n\in \mathbb {N} _{0}$ die endliche Iterationsstufe bezeichnet, die Einheitsintervalle ${\check {\mathcal {I}}}:={\mathcal {I}}\!\setminus \!\{1\}=[0,1[$ und ${\check {\mathcal {Q}}}$ sind oben halboffen, und für $m\in \mathbb {N}$, bspw. $m=2^{n}$ oder $m=4^{n}$, ist

${\mathcal {I}}_{m}:=\{0,{\tfrac {1}{m}},{\tfrac {2}{m}},\dotso ,1-{\tfrac {1}{m}}\}=\{0,1,2,\dotso ,m\!-\!1\}\cdot {\tfrac {1}{m}}\;\;\subset {\check {\mathcal {I}}}$

eine diskrete Menge von $m$ Elementen.

Hilbert-Polygon

Die Zuordnung der Hilbert-Kurve $H_{n}$ der $n$-ten Iteration ist

${\begin{array}{lrlllll}h_{n}\;\colon &{\check {\mathcal {I}}}&\to &{\check {\mathcal {Q}}}&:=&\;\;{\check {\mathcal {I}}}&\times &{\check {\mathcal {I}}}\\&t&\mapsto &\displaystyle h_{n}(t)=h_{n}(t_{n})&=&{\bigl (}x_{n}(t)=x_{n}(t_{n})&,&y_{n}(t)=y_{n}(t_{n}){\bigr )}\,.\\\end{array}}$

Das Bild $h_{n}({\check {\mathcal {I}}})$ ist eine diskrete Menge, und zwar ist

$h_{n}({\check {\mathcal {I}}})={\mathcal {I}}_{2^{n}}\times {\mathcal {I}}_{2^{n}}={{\mathcal {I}}_{2^{n}}}^{2}$.

Die Koordinaten ${\bigl (}x_{n}(t),y_{n}(t){\bigr )}$ stehen dabei für linke untere Ecken von Quadraten des Rasters $R_{n}$. In graphischen Darstellungen wird die Reihenfolge der Quadrate, deretwegen ja der ganze Aufwand getrieben wird, am einfachsten durch Verbindungsstrecken zwischen den Quadraten sichtbar gemacht. Am deutlichsten wird diese Reihenfolge, wenn man statt der $4^{n}$ Ecken die $4^{n}$ Quadratmittelpunkte

${\bigl (}{\dot {x}}_{n}(t),\,{\dot {y}}_{n}(t){\bigr )}:={\bigl (}x_{n}(t)+2^{-n-1},\;y_{n}(t)+2^{-n-1}{\bigr )}\qquad \qquad (t\in {\mathcal {I}}_{4^{n}})$

nimmt, weil die Verbindungsstrecken verschiedener Iterationsstufen dann getrennt bleiben und Symmetrien klarer herauskommen. Dieser Polygonzug in der Ebene von Quadratmittelpunkt zu Quadratmittelpunkt wird häufig als das Hilbert-Polygon $P_{n}$ der $n$-ten Iteration bezeichnet.

Die diskrete Funktion ${\hat {h}}_{n}:=h_{n}\!\mid _{{\mathcal {I}}_{4^{n}}}$, d. i. die Einschränkung von $h_{n}$ auf die diskrete Menge ${\mathcal {I}}_{4^{n}}$, ist umkehrbar und hat die Umkehrfunktion ${\hat {k}}_{n}$, die im Abschnitt Hilbert-Index behandelt wird. Nach Konstruktion ist ferner

${\hat {h}}_{n}(t\pm 4^{-n})\;\;\,=\;\;\,{\begin{cases}{\hat {h}}_{n}(t)\pm (2^{-n}\!\!\!\!\!\!&,\!\!\!\!\!\!&0&)\\{\hat {h}}_{n}(t)\pm (0&,&2^{-n}\!\!\!\!\!\!&)\,,\end{cases}}$

woraus die Implikation

$|t-t^{\prime }|\leq 4^{-n}\Longrightarrow {\bigl |}{\hat {h}}_{n}(t)-{\hat {h}}_{n}(t^{\prime }){\bigr |}\leq 2^{-n}$

(und im Limes die gleichmäßige Stetigkeit) folgt.

Abb. 6: Hilbert-Polygon der 6. Iteration

Das Hilbert-Polygon $P_{n}$ ist eine einfache Kurve mit Anfang, Ende und ohne Berührungen oder Überschneidungen. Wie in der Einleitung erwähnt, hat es die euklidische Länge $(4^{n}-1)\,2^{-n}=2^{n}-2^{-n}$, die also mit $n$ über alle Grenzen wächst. Alle Hilbert-Polygone derselben Iteration $n$ sind einander ähnlich.

Die Animation der nebenstehenden Abb. 6 gibt einen Eindruck, wie lang die Wege in höheren Iterationen werden. Sie deutet auch an, wie das Hilbert-Polygon nach und nach den ganzen Ersten Quadranten der $(x,y)$-Ebene ausfüllen könnte: Wenn ein Quadrat fertig ist, dann ist der Polygonzug in der Richtung weg vom Ursprung fortzusetzen.

Die Bild- und die Definitionsmenge von ${\hat {h}}_{n}$ lassen sich aufgrund ihrer Diskretheit in einfacher Weise so skalieren, dass sie ganzzahlig werden.

Bei den beiden folgenden Algorithmen t2xyR und t2xyI und beim Algorithmus xy2tR erfolgt die Auswertung (Hintereinanderausführung) der verketteten Transformationen wie bei Operatoren üblich rechts-assoziativ, also von rechts nach links. Innerhalb des Programms findet die Auswertung im rekursiven Aufstieg – also »auf dem Rückweg« (im hinteren Abschnitt) – statt, weshalb die Auswertungsrichtung als »fein zu grob« zu charakterisieren ist. Damit sich bei dieser Auswertungsrichtung überhaupt etwas ergibt, muss der »Hinweg« abgebrochen werden. Beim wie immer gearteten Abbruchkriterium (im Pseudocode t2xyR formuliert mit der Genauigkeitsvariablen eps) wird der Punkt $(x,y)$, wie in der Abb. 4 dargestellt, in dasjenige Rasterquadrat gebracht, das dem eingegebenen Teilintervall von $t$ entspricht, und dieses Vorgehen wird wiederholt bei jedem iterativen Schritt zurück.

Bemerkung 2

Wie weiter oben schon bemerkt, suggeriert die Abb. 4 eine solche Auswertungsrichtung. Gleichwohl existiert eine Abhängigkeit des $n$-ten Quadrats von Teilen der $(n+1)$-sten oder höherer Iterationsstufe überhaupt nicht, weder hinsichtlich der Ziffern $\tau _{\nu }$ (mit $\nu >n$) des Parameters $t$ noch hinsichtlich der Ziffern $(\xi _{\nu },\eta _{\nu })$ der Koordinaten $(x,y)$ noch hinsichtlich der Ausrichtung der Quadrate. Wenn es eine Rekursion gibt, dann kann sie in der Richtung von »grob zu fein« aufgesetzt werden, bei der die Auswertung im rekursiven Abstieg erfolgt. Die hieraus hervorgehende Rekursionsformel hat den Vorteil, dass ein »Abbruchkriterium« nicht gebraucht wird. (Ein Ergebnis liegt bei einem Abbruch unmittelbar vor – einschließlich einer Angabe über die möglicherweise eingegangene Ungenauigkeit.) Sie zählt damit zu den potentiell unendlichen Verfahren und wird im Abschnitt #Explizite Rekursionsformel beispielhaft vorgestellt. Der einzige erkennbare Nachteil ist, dass die Eigenschaft der Ausrichtung eines Quadrats explizit gemacht werden muss und nicht in den Formeln für die Transformationen versteckt werden kann.

Rekursiver Algorithmus

Der nachfolgende Pseudocode t2xyR implementiert rekursiv die Abb. 4 mit $\mathbf {A}$ als Ausrichtung für Zwischen- wie Endergebnis. Er nimmt als Argument einen Parameter $t\in {\check {\mathcal {I}}}$ und eine Begrenzung eps$:=2^{-n}$ der Iterationstiefe. Zurückgegeben werden die Koordinaten der linken unteren Ecke eines Quadrates der $n$-ten Iteration.

Eingabe:	Parameter $t\in {\check {\mathcal {I}}}$
Ausgabe:	Koordinaten $x,y\in {\check {\mathcal {I}}}$
Auswertungsrichtung:	fein zu grob

 function t2xyR(t, eps) begin
   if eps > 1 then
     return (0, 0); // im Ergebnisquadrat die linke untere Ecke
   else
     q = floor(4*t);
     // Die Quaternärstelle q ∈ {0, 1, 2, 3} bestimmt,
     //   in welches Teilquadrat der Punkt gehört
     //   und wie er zu transformieren ist.
     r = 4*t − q;
     (x,y) = t2xyR(r, eps*2); // r ∈ I ↦ (x,y) ∈ Q
     switch q do
       case 0: return (y/2,         x/2);
       case 1: return (x/2,         y/2 + 1/2);
       case 2: return (x/2 + 1/2,   y/2 + 1/2);
       case 3: return (1−eps − y/2, 1/2−eps − x/2);
     end switch
   end if
 end function

Abb. 7: Die 4 Übersetzungs-
tabellen vom 4-adischen Parameter ${\color {green}\tau }$ zu den zwei 2-adischen Koordinaten ${\color {red}(\xi ,\eta )}$
– und zurück.
Pro „Ausrichtung“ eine Tabelle.

Iterativer Algorithmus mit ganzzahligen Ein-/Ausgabewerten

Bei der folgenden iterativen Lösung ist $n$ die Nummer der Iteration und $p:=2^{n}$ die Anzahl der 1D-Teilintervalle. Zurückgegeben wird die linke untere Ecke eines Quadrats. Der folgende Pseudocode t2xyI hat ganzzahlige Ein-/Ausgabe (d. h. es wird nicht auf Einheitsintervall oder -quadrat skaliert).

Eingabe:	Parameter $t\in \{0,1,\dotso ,p^{2}-1\}$
Ausgabe:	Koordinaten $x,y\in \{0,1,\dotso ,p-1\}$
Auswertungsrichtung:	fein zu grob

 function t2xyI(t, p) begin
   (x, y) = (0, 0); // im Ergebnisquadrat die linke untere Ecke
   for (m = 1; m < p; m *= 2) do // m wächst exponentiell
     rx = 1 & t/2;      // Binärziffer[1]: 0=links/1=rechts
     ry = 1 & (t ^ rx); // Binärziffer[0]
     (x, y) = rot(x, y, rx, ry, m);
     x += m * rx;
     y += m * ry;
     t /= 4; // zur nächsten Quaternärziffer
   end for
 return (x, y);
 end function

// Drehspiegelung eines Quadrates
 function rot(x, y, rx, ry, p) begin
   if (ry == 0) then
     if (rx == 1) then
       x = p−1 − x;
       y = p−1 − y;
     end if
     // vertausche x und y
     z = x;
     x = y;
     y = z;
   end if
 return (x, y);
 end function

Hierbei kommen die C-Operatoren ^ für bitweises XOR, & für bitweises UND, += für Inkrementieren, *=2 für Verdoppeln und /=2 für Halbieren zum Einsatz.

In der Funktion t2xyI bedeutet die Variable rx das Übereinstimmen des vorletzten Bits bei x und t; analog für ry und y mit dem letzten Bit.

Die Funktion (und ihre Umkehrung s. u.) benutzen die Funktion rot, um die Koordinaten x und y in einem Teilquadrat so zu spiegeln und zu drehen, dass die Teilstücke konsekutiv (stetig) zusammengefügt werden.

Explizite Rekursionsformel

Eingabe:	Parameter $t\in {\check {\mathcal {I}}}$
Ausgabe:	Koordinaten $x,y\in {\check {\mathcal {I}}}$
Auswertungsrichtung:	grob zu fein

Ist $t=:0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\tau _{3}\dotso \in {\check {\mathcal {I}}}$ eine 4-adische Darstellung des Parameters, dann lässt sich die (unendliche) Folge ${\bigl (}h_{n}(t){\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }={\Bigl (}{\bigl (}x_{n}(t),y_{n}(t){\bigr )}{\Bigr )}_{n\in \mathbb {N} }$ auch als Rekursion über die Quadratmittelpunkte

${\bigl (}{\dot {x}}_{n}(t):=x_{n}(t)+2^{-n-1},\;\;{\dot {y}}_{n}(t):=y_{n}(t)+2^{-n-1}{\bigr )}$

und die „absolute“ Ausrichtung $a_{n}$ mit dem Rekursionsanfang

${\dot {x}}_{0}(t)={\tfrac {1}{2}}$	und
${\dot {y}}_{0}(t)={\tfrac {1}{2}}$	und
$a_{0}(t)=\mathbf {A}$	Ausrichtung am Rekursionsanfang (= initiale Ausrichtung)

und dem Rekursionsschritt

${\dot {x}}_{n}(t)$	$={\dot {x}}_{n-1}(t)+2^{-n-1}(2X_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}-1)$	(RFh_ξ),
${\dot {y}}_{n}(t)$	$={\dot {y}}_{n-1}(t)\ +2^{-n-1}(2Y_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}-1)$	(RFh_η) und
$a_{n}(t)$	$=A_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}$	(RFh_a)

für $n\in \mathbb {N}$ schreiben. Die drei (4×4)-Matrizen

$X:=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&0&1&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&1&1&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\!,\,Y:=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&1\\0&0&1&1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\!,\;A:=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}\mathbf {D} &\mathbf {A} &\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {B} &\mathbf {B} &\mathbf {A} \\\mathbf {B} &\mathbf {C} &\mathbf {C} &\mathbf {D} \\\mathbf {A} &\mathbf {D} &\mathbf {D} &\mathbf {C} \end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\;\;{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{ll}\leftarrow &\mathbf {A} \\\leftarrow &\mathbf {B} \\\leftarrow &\mathbf {C} \\\leftarrow &\mathbf {D} \end{array}}\end{smallmatrix}}\!\!\!\left.{\begin{array}{c}\,\\[13pt]\,\end{array}}\right\rbrace \scriptstyle \;=\;a$

sind äquivalent zu den vier Übersetzungstabellen der Abbildung 7. Sie werden an ihrem ersten Index, dem Zeilenindex, durch die absolute Ausrichtung $a_{n-1}(t)\in \mathbf {V} :=\{\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\mathbf {D} \}$ indiziert. Das Ergebnis ist bei $X$, $Y$ und $A$ jeweils eine vierstellige Zeile, die zusammen genommen eine der Übersetzungstabellen darstellen. Jede Stelle (Spalte) einer solchen Zeile wird durch die Quaternärziffer $\tau _{n}\in \{0,1,2,3\}$ indiziert. Daraus resultiert (Gl.n RFh_ξ und RFh_η) das neue Ziffernpaar $(\xi _{n},\eta _{n})$ für den Punkt $(x,y)$ und (Gl. RFh_a) die neue absolute Ausrichtung.

Die Folge ${\bigl (}({\dot {x}}_{n},{\dot {y}}_{n}){\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }$ der Quadratmittelpunkte mit ${\dot {x}}_{n}:=0_{2}.\!\xi _{1}\xi _{2}\dotso \xi _{n}+2^{-n-1}$ und ${\dot {y}}_{n}:=0_{2}.\!\eta _{1}\eta _{2}\dotso \eta _{n}+2^{-n-1}$, steht für die 2D-Intervallschachtelung

${\begin{array}{lllll}&{\bigl (}[{\dot {x}}_{n}-2^{-n-1},&{\dot {x}}_{n}+2^{-n-1}]&\times \;[{\dot {y}}_{n}-2^{-n-1},&{\dot {y}}_{n}+2^{-n-1}]{\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }\\=&{\bigl (}[x_{n},&x_{n}+2^{-n}]&\times \;[y_{n},&y_{n}+2^{-n}]{\bigr )}_{n\in \mathbb {N} },\\\end{array}}$

die $h(t)$ zum Limes hat.

Beweis der Rekursionsformel

Die Gleichung RFh_a akkumuliert – wie in der Erläuterung zur Abb. 7 ausgeführt – die relativen Ausrichtungen (Teil Ausr) zwischen Viertelquadrat und großem Quadrat und implementiert damit (zusammen mit der 2D-Intervallschachtelung (Teil Skal) der Gl.n RFh_ξ und RFh_η) die Transformationen $T_{0},T_{1},T_{2}$ und $T_{3}$ (Teil Parv) des Abschnitts #Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das Einheitsquadrat.

Erläuterungen zu den Abbildungen 7 und 8

Die oberste der vier Graphiken der Abb. 7, die für die Ausrichtung $\mathbf {A}$, ist ein Auszug aus der Abb. 4. Aus der Abb. 5 kann man die Daten zur zweiten und vierten Ausrichtung $\mathbf {B}$ und $\mathbf {D}$ direkt ablesen; für die dritte Ausrichtung $\mathbf {C}$ ergeben sie sich durch Übergang zum 4. Iterationsschritt in der Abb. 5. Da die Abb. 5 anhand der Regeln des Abschnitts #Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das Einheitsquadrat erstellt ist, werden diese Regeln auch von der Abb. 7 (und von den Matrizen $X,Y,A$ (s. o.) und den Hypermatrizen $T,A'$ (s. u.)) eingehalten. Die vier Graphiken unterscheiden sich hinsichtlich des Charakteristikums Ausrichtung durch eine der Isometrien aus der Gruppe $V$. Anmerkungen Die Abbildung zeigt bei jeder der vier Ausrichtungen nur einen einzigen Rekursionsschritt. Das Zusammenfassen mehrerer Rekursionsschritte zu einem Schritt, also das Verbreitern der Ein- und Ausgabe auf mehr als eine Ziffer (bei beiden, 4-adischem Parameter und 2-adischen Koordinaten), ist eine reine Fleißaufgabe, durch die die Matrizen entsprechend vergrößert werden. Es bleibt aber bei der Anzahl vier hinsichtlich der Übersetzungstabellen, die der Anzahl $v$ der Ausrichtungen entspricht. Das Verfahren bezeichnet M. Bader als recursion unrolling (dt. etwa Ab/Entrollen der Schleife). Es kann die Algorithmen wesentlich beschleunigen, weil weniger Schleifenkontrollanweisungen, Speicherzugriffe und/oder Programmaufrufe zu absolvieren sind. (Abgesehen davon können Bit-Shift-Operationen, die auf vielen Maschinen erforderlich wären, durch geschickte Wahl der Ziffernzahl eingespart werden.) Exemplarisch für 2 Iterationen: $X=\left\lbrack {\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$ 00 01 01 00 00 00 01 01 10 10 11 11 11 10 10 11 $\left.{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right\rbrack$ ←   $\mathbf {A}$ $\left.{\begin{matrix}\\[35pt]\\\end{matrix}}\right\rbrace =a$ 11 11 10 10 01 00 00 01 01 00 00 01 10 10 11 11 ←   $\mathbf {B}$ 11 10 10 11 11 11 10 10 01 01 00 00 00 01 01 00 ←   $\mathbf {C}$ 00 00 01 01 10 11 11 10 10 11 11 10 01 01 00 002 ←   $\mathbf {D}$ $Y=\left\lbrack {\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$ 00 00 01 01 10 11 11 10 10 11 11 10 01 01 00 00 $\left.{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right\rbrack$ ←   $\mathbf {A}$ $\left.{\begin{matrix}\\[35pt]\\\end{matrix}}\right\rbrace =a$ 11 10 10 11 11 11 10 10 01 01 00 00 00 01 01 00 ←   $\mathbf {B}$ 11 11 10 10 01 00 00 01 01 00 00 01 10 10 11 11 ←   $\mathbf {C}$ 00 01 01 00 00 00 01 01 10 10 11 11 11 10 10 112 ←   $\mathbf {D}$ $A=\left\lbrack {\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\left.{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right\rbrack$ ←   $\mathbf {A}$ $\left.{\begin{matrix}\\[35pt]\\\end{matrix}}\right\rbrace =a$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ←   $\mathbf {B}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {C}$ ←   $\mathbf {C}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {D}$ ←   $\mathbf {D}$ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 00 01 02 03 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 334       $=\tau$ Die Abbildung 8 ist eine leichte Abwandlung der Fig. 4.1 aus J. Lawder. Sie zeigt im Wesentlichen dieselbe Information wie die Abbildung 7 – in der Art eines Zustandsübergangsdiagramms, bei dem der Übergang in die nächste Iterationsstufe (zum nächsten Viertelquadrat) als »Zustandsänderung« aufgefasst wird. Zum besseren Rechnen werden die Ausrichtungen als Restklassen $[1],[3],[5],[7]\in \mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ modulo 8 geschrieben, und zwar $\mathbf {A} :=[1],\,\mathbf {B} :=[3],\,\mathbf {C} :=[5],\,\mathbf {D} :=[7].$ Nur die primen Restklassen $\in (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }$ kommen als Ausrichtung vor. Zum Rechnen werden auch hier beide Verknüpfungen $\times$ sowie $+$ des Rings $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ gebraucht. Die Gruppe $V$ lässt sich als Matrizengruppe mit $v_{1}:=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]$ als Identität $[1]\!\to \![1],\;[3]\!\to \![3],\;[5]\!\to \![5],\;[7]\!\to \![7]$ ($\cong \;\times [1]$), $v_{5}:=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}-1&0\\0&-1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]$ als Punktspiegelung $[1]\!\to \![5],\;[3]\!\to \![7],\;[5]\!\to \![1],\;[7]\!\to \![3]$ ($\cong \;\times [5]$), $v_{7}:=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}0&1\\1&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]$ als Spiegelung an der Hauptdiagonalen $[1]\!\to \![7],\;[3]\!\to \![5],\;[5]\!\to \![3],\;[7]\!\to \![1]$ ($\cong \;\times [7]$) und $v_{3}:=\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&-1\\-1&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]$ als Spiegelung an der Nebendiagonalen $[1]\!\to \![3],\;[3]\!\to \![1],\;[5]\!\to \![7],\;[7]\!\to \![5]$ ($\cong \;\times [3]$) schreiben. Rechts vom $\cong$-Zeichen ist die Multiplikation mit einer primen Restklasse aufgeführt, die offensichtlich ein Ergebnis liefert, das der Anwendung der Matrix gemäß (Ausr) auf die Ausrichtung entspricht. Ferner ergibt sich $A=\left\lbrack {\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$ $[7]$ $[1]$ $[1]$ $[3]$ $\left.{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right\rbrack$ $\leftarrow \,\,[1]\,=\,\mathbf {A}$ $\left.{\begin{matrix}\\[33pt]\\\end{matrix}}\right\rbrace =a$ $[5]$ $[3]$ $[3]$ $[1]$ $\leftarrow \,\,[3]\,=\,\mathbf {B}$ $[3]$ $[5]$ $[5]$ $[7]$ $\leftarrow \,\,[5]\,=\,\mathbf {C}$ $[1]$ $[7]$ $[7]$ $[5]$ $\leftarrow \,\,[7]\,=\,\mathbf {D}$ $\uparrow$ $\uparrow$ $\uparrow$ $\uparrow$ $0$ $1$ $2$ $3$ $=\,\tau$ als neues Erscheinungsbild der Matrix $A$. Die (Gl. RFh_a) ist dann gleichbedeutend mit der Formel $a_{n}(t)=A_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}=\left\lbrace {\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$ $-a_{n-1}(t)$   für   $\tau _{n}=0$ $a_{n-1}(t)$   für   $\tau _{n}=1$ $a_{n-1}(t)$   für   $\tau _{n}=2$ $[3]\times a_{n-1}(t)$   für   $\tau _{n}=3$ was bedeutet, dass die Ausrichtung $a_{n}(t)$ des dem Parameter $t=0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso \tau _{n}\dotso$ in der $n$-ten Iteration zugeordneten Quadrates nur von der Ausrichtung $a_{n-1}$ und von der Quaternärziffer $\tau _{n}$ abhängt, und dass es keine weitere, insbesondere keine umgekehrte Abhängigkeit gibt, also dass $a_{n-1}$ von $a_{n}$ abhinge, wie man aus der Herleitung in Abschnitt #Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das Einheitsquadrat schließen könnte. Anhand der neuen Darstellung der Matrix $A$ verifiziert man leicht, dass $A_{a,\tau }+A_{[2]-a,\,3-\tau }=[2]$ (Sym1) für $a\in (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }$ und $\tau \in \{0,1,2,3\}$ gilt. Daraus folgt für $t=:0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso \tau _{n}$ und $s:=0_{4}.\!\sigma _{1}\sigma _{2}\dotso \sigma _{n}$ mit $\sigma _{i}:=3-\tau _{i}$: $a_{n}(t)+a_{n}(s)=[2]$ (Sym2). Denn der Induktionsanfang ist $a_{0}(t)=[1]$ und $a_{0}(s)=[1]$. Ferner ist nach der Induktionsannahme $a_{n-1}(t)+a_{n-1}(s)=[2]$ und nach (Sym1) $a_{n}(t)+a_{n}(s)=A_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}+A_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}=A_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}+A_{[2]-a_{n-1}(t),\,3-\tau _{n}}=[2]$ . Aus (Sym2) und durch Inspektion der Matrix $X$ ergibt sich $X_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}+X_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}=X_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}+X_{[2]-a_{n-1}(t),\,3-\tau _{n}}=1$ und genauso bei $Y$ $Y_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}\,-Y_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}\;=Y_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}\,-Y_{[2]-a_{n-1}(t),\,3-\tau _{n}}\;=0$. Symmetrieeigenschaft: Für jedes $t\in {\mathcal {I}}$ ist $x(1-t)=1-x(t)$   und   $y(1-t)=y(t)$. Induktionsanfang: ${\dot {x}}_{0}(1-t)={\tfrac {1}{2}}=1-{\dot {x}}_{0}(t)$   und   ${\dot {y}}_{0}(1-t)={\tfrac {1}{2}}={\dot {y}}_{0}(t)$. Induktionsschritt: ${\begin{array}{lll}{\dot {x}}_{n}(1-t)&={\dot {x}}_{n-1}(1-t)&\quad +2^{-n-1}(2X_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}\!-1)\\&=1-{\dot {x}}_{n-1}(t)&\quad +2^{-n-1}(2X_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}\!-1)\\&=1-({\dot {x}}_{n}(t)&-2^{-n-1}(2X_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}\!-1))\\&&\quad +2^{-n-1}(2X_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}\!-1)\\&=1-{\dot {x}}_{n}(t)&+2^{-n}(X_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}+X_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}\!-1)\\&=1-{\dot {x}}_{n}(t)\end{array}}$ ${\begin{array}{lll}{\dot {y}}_{n}(1-t)&={\dot {y}}_{n-1}(1-t)&\quad +2^{-n-1}(2Y_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}\!-1)\\&={\dot {y}}_{n-1}(t)&\quad +2^{-n-1}(2Y_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}\!-1)\\&=({\dot {y}}_{n}(t)&-2^{-n-1}(2Y_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}\!-1))\\&&\quad +2^{-n-1}(2Y_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}}\!-1)\\&={\dot {y}}_{n}(t)&-2^{-n}(Y_{a_{n-1}(t),\,\tau _{n}}-Y_{a_{n-1}(s),\,\sigma _{n}})\\&={\dot {y}}_{n}(t)\end{array}}$

Hilbert-Index

Die Funktion $h_{n}$ hat die Definitionsmenge ${\check {\mathcal {I}}}$, die Einschränkung ${\hat {h}}_{n}=h_{n}\!\mid _{{\mathcal {I}}_{4^{n}}}$ die Definitionsmenge ${\mathcal {I}}_{4^{n}}$, beide haben die Bildmenge ${\mathcal {I}}_{2^{n}}\times {\mathcal {I}}_{2^{n}}={{\mathcal {I}}_{2^{n}}}^{2}$, die eine diskrete Menge ist. Die Funktion ${\hat {h}}_{n}$ ist umkehrbar mit der Umkehrfunktion

${\begin{array}{lllll}{\hat {k}}_{n}\;\colon &{\mathcal {I}}_{2^{n}}&\times &{\mathcal {I}}_{2^{n}}&\to &{\mathcal {I}}_{4^{n}}\\&(x&,&y)&\mapsto &{\hat {k}}_{n}(x,y):={\hat {h}}_{n}^{-1}(x,y)\;,\\\end{array}}$

welche Hilbert-Index genannt wird. Sie hat ihrerseits die Bildmenge ${\mathcal {I}}_{4^{n}}$. Unter den Einschränkungen auf die diskreten Mengen ${\mathcal {I}}_{4^{n}}$ resp. ${{\mathcal {I}}_{2^{n}}}^{2}$ sind die Funktionen ${\hat {h}}_{n}$ wie ${\hat {k}}_{n}$ umkehrbar eindeutig und es gilt ${\hat {k}}_{n}\circ {\hat {h}}_{n}=\operatorname {id} _{{\mathcal {I}}_{4^{n}}}$ und ${\hat {h}}_{n}\circ {\hat {k}}_{n}=\operatorname {id} _{{{\mathcal {I}}_{2^{n}}}^{2}}$.

Werden ihre Argumente $x_{n}:=0_{2}.\!\xi _{1}\xi _{2}\dotso \xi _{n}\in {\mathcal {I}}_{2^{n}}$ und $y_{n}:=0_{2}.\!\eta _{1}\eta _{2}\dotso \eta _{n}\in {\mathcal {I}}_{2^{n}}$ gleichermaßen als Binärbrüche entwickelt, dann kann man auch beliebige ($\infty$-stellige) Koordinaten $x=:0_{2}.\!\xi _{1}\xi _{2}\xi _{3}\dotso \in {\check {\mathcal {I}}}$ und $y=:0_{2}.\!\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}\dotso \in {\check {\mathcal {I}}}$ zulassen, in der zu definierenden Funktion $k_{n}$ als erstes die Stellen rechts ab der $(n+1)$-ten Stelle abschneiden, sodann ${\hat {k}}_{n}$ ausführen, die Einschränkung auf die diskrete Menge ${{\mathcal {I}}_{2^{n}}}^{2}$ wieder aufheben und somit das ganze Einheitsquadrat ${\check {\mathcal {I}}}^{2}={\check {\mathcal {Q}}}$ zur Definitionsmenge der Funktion

${\begin{array}{lllll}k_{n}\;\colon &{\check {\mathcal {I}}}&\times &{\check {\mathcal {I}}}&\to &{\mathcal {I}}_{4^{n}}\;\subset \;{\check {\mathcal {I}}}\\&(x&,&y)&\mapsto &k_{n}(x,y)\;,\\\end{array}}$

erklären, so dass deren Einschränkung $k_{n}\!\mid _{{{\mathcal {I}}_{2^{n}}}^{2}}$ der Funktion ${\hat {k}}_{n}$ vom Eingang des Abschnitts entspricht. Somit ergibt sich für alle $n\in \mathbb {N}$ sowohl

$k_{n}\circ h_{n}\!\mid _{{\mathcal {I}}_{4^{n}}}=\operatorname {id} _{{\mathcal {I}}_{4^{n}}}$

wie

$h_{n}\circ k_{n}\!\mid _{{{\mathcal {I}}_{2^{n}}}^{2}}=\operatorname {id} _{{{\mathcal {I}}_{2^{n}}}^{2}}.$

Die Rückabwicklung der Transformationen $T_{0},T_{1},T_{2}$ und $T_{3}$ ist in den nachfolgenden Algorithmen im Einzelnen ausgeführt.

Rekursiver Algorithmus

Die Auswertungsrichtung des Algorithmus xy2tR ist entgegen der Intervallschachtelung.

Eingabe:	Koordinaten $x,y\in {\check {\mathcal {I}}}$
Ausgabe:	Parameter $t\in {\check {\mathcal {I}}}$
Auswertungsrichtung:	fein zu grob

 function xy2tR(x, y, eps) begin
   if eps > 1 then
     return 0; // im Ergebnisintervall der linke Rand
   end if
   eps *= 2;
   if x < 1/2 then
     if y < 1/2 then
       return ( 0 + xy2tR(2*y, 2*x, eps) )/4;
     else
       return ( 1 + xy2tR(2*x, 2*y − 1, eps) )/4;
     end if
   else
     if y >= 1/2 then
       return ( 2 + xy2tR(2*x − 1, 2*y − 1, eps) )/4;
     else
       return ( 3 + xy2tR(1−eps − 2*y, 2−eps − 2*x, eps) )/4;
     end if
   end if
 end function

Iterativer Algorithmus mit ganzzahligen Ein-/Ausgabewerten

Auch diese Aufgabe lässt sich iterativ programmieren. Die iterative Funktion xy2tI arbeitet in Richtung Schachtelung, in der Binär- oder Quaternärdarstellung also von hochrangigen Ziffern zu niedrigrangigen, geometrisch von einem großen Quadrat zu einem der 4 Teilquadrate. Sie benutzt die bei t2xyI eingeführte Unterfunktion rot.

Ist $n$ die Nummer der Iteration, dann ist $p:=2^{n}$ die Anzahl der 1D-Teilintervalle.

Eingabe:	Koordinaten $x,y\in \{0,1,\dotso ,p-1\}$
Ausgabe:	Parameter $t\in \{0,1,\dotso ,p^{2}-1\}$
Auswertungsrichtung:	grob zu fein

 function xy2tI(x, y, p) begin
   t = 0; // Summationsanfang
   for (p /= 2; p >= 1; p /= 2) do
     rx = (x & p) > 0;
     ry = (y & p) > 0;
     t += p * p * ((3 * rx) ^ ry);
     (x, y) = rot(x, y, rx, ry, p);
   end for
   return t;
 end function

Abb. 8: Die Ausrichtung $\in \mathbf {V} =\{\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\mathbf {D} \}$ bestimmt den großen Kasten. In jedem 4 kleine Kästen, wo sich Quaternärziffer ${\color {green}\tau }$ des Parameters und Binärziffern ${\color {red}(\xi ,\eta )}$ der 2 Koordinaten gegen­über­stehen; eines ist Schlüssel, das andere Wert. Der Schlüssel bestimmt den kleinen Kasten und damit den Wert und die nächste Ausrichtung.
Die runden Pfeile verweisen auf den großen Kasten mit dieser Ausrichtung.

Rekursionsformel für den Hilbert-Index

Eingabe:	Koordinaten $x,y\in {\check {\mathcal {I}}}$
Ausgabe:	Parameter $t\in {\check {\mathcal {I}}}$
Auswertungsrichtung:	grob zu fein

Sind $x=:0_{2}.\!\xi _{1}\xi _{2}\xi _{3}\dotso \in {\check {\mathcal {I}}}$ und $y=:0_{2}.\!\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}\dotso \in {\check {\mathcal {I}}}$ Darstellungen der Koordinaten $(x,y)$ im Binärsystem, dann lässt sich die (unendliche) Folge ${\bigl (}k_{n}(x,y){\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }$ auch als Rekursion mit dem Rekursionsanfang

$\tau _{0}(x,y)=0$	und
$a_{0}(x,y)=\mathbf {A}$	(Start mit der initialen Ausrichtung $\mathbf {A}$)

und dem Rekursionsschritt

$\tau _{n}(x,y)$	$=T_{a_{n-1}(x,y),\,\xi _{n},\,\eta _{n}}$	(RFk_τ)
$a_{n}(x,y)$	$=A'_{a_{n-1}(x,y),\,\xi _{n},\,\eta _{n}}$	(RFk_a)

für $n\in \mathbb {N}$ schreiben. Die zwei (4×2×2)-Hypermatrizen

${\begin{array}{c}T:={\begin{bmatrix}\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}0&1\\3&2\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\\\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}2&1\\3&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\\\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}2&3\\1&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\\\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}0&3\\1&2\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}},\end{array}}\;\;{\begin{array}{c}A':={\begin{bmatrix}\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}\mathbf {D} &\mathbf {A} \\\mathbf {B} &\mathbf {A} \end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\\\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}\mathbf {B} &\mathbf {B} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\\\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}\mathbf {C} &\mathbf {D} \\\mathbf {C} &\mathbf {B} \end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\\\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}\mathbf {A} &\mathbf {C} \\\mathbf {D} &\mathbf {D} \end{array}}\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\\\end{array}}\qquad \;\;{\begin{array}{c}{\begin{matrix}\left.{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}\,\\\,\end{array}}\end{smallmatrix}}\right\rbrack \scriptstyle \;\leftarrow \;\mathbf {A} \\\left.{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}\,\\\,\end{array}}\end{smallmatrix}}\right\rbrack \scriptstyle \;\leftarrow \;\mathbf {B} \\\left.{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}\,\\\,\end{array}}\end{smallmatrix}}\right\rbrack \scriptstyle \;\leftarrow \;\mathbf {C} \\\left.{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rr}\,\\\,\end{array}}\end{smallmatrix}}\right\rbrack \scriptstyle \;\leftarrow \;\mathbf {D} \end{matrix}}\!\!\left.{\begin{array}{c}\,\\[47pt]\,\end{array}}\right\rbrace \scriptstyle \;=\;a\end{array}}$

sind zusammen genommen äquivalent zu den vier Übersetzungstabellen der Abbildung 7. Sie werden an ihrem ersten Index durch die absolute Ausrichtung $a_{n-1}(x,y)\in \mathbf {V}$ indiziert. Das Ergebnis ist bei $T$ wie bei $A'$ eine (2×2)-Untermatrix. Jedes solche Paar von Untermatrizen stellt eine Übersetzungstabelle dar. Eine Untermatrix wird durch das Binärziffernpaar $(\xi _{n},\eta _{n})$ indiziert. Daraus resultiert (Gl. RFk_τ) die neue Quaternärziffer $\tau _{n}$ für den Parameter $t$ und (Gl. RFk_a) die neue absolute Ausrichtung $a_{n}(x,y)$.

Beweis der Rekursionsformel für die Umkehrfunktion Hilbert-Index

Das kleine Quadrat (rechts in der Abb. 4) bekommt gemäß (Gl. RFk_τ) im großen Quadrat eine Nummer $\tau :=\tau _{n}=T_{a_{n-1}(x,y),\,\xi _{n},\,\eta _{n}}$, die der (absoluten) Ausrichtung $a_{n-1}(x,y)$ des großen Quadrats sowie der Lage des kleinen Quadrats im großen Quadrat, nämlich den Ziffern $(\xi _{n},\eta _{n})$, entspricht. Erstere legt fest, welche der 4 Übersetzungstabellen in Abb. 7 anzuwenden ist, und letztere legen fest, ob das kleine Quadrat ins linke untere (bei $(\xi _{n},\eta _{n})=(0,0)$), ins linke obere (bei $(\xi _{n},\eta _{n})=(0,1)$) etc. Teilquadrat gehört, woraus die Ziffer $\tau _{n}:=\tau$ resultiert. Dies geschieht in Einklang mit den Transformationen $T_{0}$ bis $T_{3}$ aus dem Abschnitt #Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das Einheitsquadrat, denn die Gleichung (RFk_a), die die absolute Ausrichtung rekursiv festlegt, ist eine Akkumulation der relativen Ausrichtungen, die durch jene Transformationen bewirkt werden.

Analysis

Im Limes, also bei exakt $n=\infty$, kommt – wie ein Blitz aus heiterem Himmel – ein neues Problem auf, nämlich der plötzliche Verlust der umkehrbaren Eindeutigkeit sowohl bei der 4- wie bei der 2-adischen Darstellung.

Darüber hinaus müssen wegen der Limites   $0_{4}.\!{\overline {3}}=1=0_{2}.\!{\overline {1}}$   anstelle der halboffenen Intervalle ${\check {\mathcal {I}}}$ und ${\check {\mathcal {Q}}}$ ihre abgeschlossenen Hüllen ${\bar {\check {\mathcal {I}}}}={\mathcal {I}}$ und ${\bar {\check {\mathcal {Q}}}}={\mathcal {Q}}$ betrachtet werden.

Hilbert-Kurve

Mit den Hilbert-Kurven $H_{n}$ (und den Hilbert-Polygonen $P_{n}$) lässt sich zu jedem positiven Abstand $\varepsilon >0$ eine Iterationsstufe $n\in \mathbb {N}$ angeben, so dass es zu jedem Punkt $(x,y)\in {\mathcal {Q}}$ des Einheitsquadrats einen Punkt $(x_{n},y_{n})$ des Rasters $R_{n}$ gibt, der einen kleineren Abstand ${\bigl |}(x_{n},y_{n})-(x,y){\bigr |}<\varepsilon$ hat. Das bedeutet aber nicht die vollständige Füllung des Quadrats. Diese kann nur durch den Übergang zum Limes erreicht werden. Der Limes

${\begin{array}{lllll}h\;\colon &{\mathcal {I}}&\to &{\mathcal {Q}}=&{\mathcal {I}}&\times &{\mathcal {I}}\\&t&\mapsto &\displaystyle \lim _{n\to \infty }h_{n}(t):=\lim _{n\to \infty }&{\bigl (}x_{n}(t)&,&y_{n}(t){\bigr )}&=:\;\;{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\\\end{array}}$

existiert immerhin, da er aus der 2D-Intervallschachtelung

${\Bigl (}{\bigl [}x_{n}(t),x_{n}(t)+2^{-n}{\bigr ]}\times {\bigl [}y_{n}(t),y_{n}(t)+2^{-n}{\bigr ]}{\Bigr )}_{n\in \mathbb {N} }$

hervorgeht. Die Konvergenz ist eine gleichmäßige im folgenden Sinn: Für jedes $\varepsilon >0$ ist $N:={\bigl \lceil }\!-\!\log _{2}(\varepsilon ){\bigr \rceil }$ so, dass für alle Parameter $t\in {\mathcal {I}}$ und alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n>N$

${\Bigl |}{\bigl (}x_{n}(t),y_{n}(t){\bigr )}-{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}{\Bigr |}<2^{-n}\leq \varepsilon$

gilt.

Eigenschaften

1. $h$ ist rechtseindeutig, somit wohldefiniert und eine Funktion.
2. $h\,\colon \,{\mathcal {I}}\to {\mathcal {Q}}$ ist surjektiv.
3. $h$ ist nicht injektiv.
4. $h$ ist stetig, definiert also eine Kurve. Die Stetigkeit ist eine gleichmäßige.
5. Die Bilder des durch 3 geteilten Rasters ${\mathcal {I}}_{3\cdot 4^{n}}$ sind genau die Eckpunkte ${\mathcal {I}}_{2^{n}}\times {\mathcal {I}}_{2^{n}}$ der entsprechenden Rasterquadrate.
6. $h{\Biggl (}{\frac {\lfloor 4^{n}t\rfloor }{4^{n}}}{\Biggr )}=h_{n}(t)$ .
7. Ist $\mathbf {A}$ die initiale Ausrichtung, dann ist $h$ symmetrisch zur Geraden $x={\tfrac {1}{2}}$:
         Für jedes $t\in {\mathcal {I}}$ ist $x(1-t)=1-x(t)$   und   $y(1-t)=y(t)$.
   Bei $\mathbf {D}$ als initialer Ausrichtung wäre es die Gerade $y={\tfrac {1}{2}}$
         und $x(1-t)=x(t)$   und   $y(1-t)=1-y(t)$.
8. Ist $h(t)=(x,y)$, dann ist
         $h{\Bigl (}{\frac {t}{4}}{\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {y}{2}},{\frac {x}{2}}{\Bigr )}$.
9. Ist $t=:0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\tau _{3}\dotso \in \mathbb {Q}$ rational, dann ist seine 4-adische Darstellung periodisch, bspw. $t=:0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso \tau _{k}{\overline {\sigma _{1}\dotso \sigma _{l}}}$ mit der Periodenlänge $l$. Die Koordinaten $(x,y)$ von $h(t)\in \mathbb {Q} ^{2}$ sind dann beide ebenfalls rational mit einer 2-adischen Periodenlänge $\leq vl$, wobei $v=4$ die Mächtigkeit der Menge $\mathbf {V}$ der Ausrichtungen ist.
10. $h$ ist nirgends differenzierbar.
11. $h$ ist Maß-erhaltend: Für jede Punktmenge $S\subset {\mathcal {I}}$ mit ein-dimensionalem Lebesgue-Maß $\mu$ hat das Bild $\cup _{t\in S}h(t)$ das $d$-dimensionale Lebesgue-Maß $\mu$. Das bedeutet auch, dass jedes Intervall $\subset {\mathcal {I}}$ in eine zusammenhängende (möglicherweise unendliche) Folge ${\bigl (}Q_{i}{\bigr )}_{i\in \mathbb {Z} }$ von Quadraten der Rasterschachtelung abgebildet wird.

Beweise der Eigenschaften

Zu Eigsch. 1:   $h$ ist Funktion. In der Tat ist $h$ nicht von vorne herein wohldefiniert, weil beim Übergang von einer reellen Zahl zu ihrer Quaternärentwicklung eine Weggabelung existiert: Zu einem gekürzten Bruch mit Zweierpotenz im Nenner, also zu einem Element $t\in E_{2}:=\mathbb {N} _{0}2^{-\mathbb {N} _{0}}\,\cap \;]0,1[$, gibt es zwei Möglichkeiten der Darstellung. Beispielsweise hat der Bruch $t={\tfrac {1}{2}}$ die Darstellung mit einem periodischen 04. …0-Ende ${\tfrac {1}{2}}=\displaystyle 2\cdot 4^{-1}+\sum _{n=2}^{\infty }0\cdot 4^{-n}=0_{4}.2{\overline {0}}$ (die als die »abbrechende Darstellung« bezeichnet wird, weil sie auch als endliche 4-adische Summe geschrieben werden kann) und die mit einem 04. …3-Ende ${\tfrac {1}{2}}=\displaystyle 1\cdot 4^{-1}+\sum _{n=2}^{\infty }3\cdot 4^{-n}=0_{4}.1{\overline {3}}$ . Diese Wahlmöglichkeit (Gleichheit) ist bei endlicher Stellenzahl (entspricht hier der Iterationsstufe) nicht gegeben, wo zwei verschiedene Ziffernfolgen immer verschiedene Werte haben; sie stellt aber im Fall $\textstyle n=\infty$ die Forderung der Rechtseindeutigkeit an die Relation $h$ in Frage. Im Folgenden wird aber gezeigt, dass sie sich nicht auf das Ergebnis von $h$ auswirkt. Wegen $h(0_{4}.\!{\overline {0}})=(0,0)$ muss gelten:       $\lim _{n\to \infty }T_{0}^{n}(0,0)=(0,0)=T_{0}(0,0)$. In der Tat ist ${\bigl (}T_{0}^{n}({\mathcal {Q}}){\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }$ wegen $T_{0}({\mathcal {Q}})=T_{0}({\mathcal {I}}^{2})=({\mathcal {I}}/2)^{2}$ eine 2D-Intervallschachtelung mit dem für alle $(x,y)\in {\mathcal {Q}}$ existierenden Limes $\textstyle \lim _{n\to \infty }T_{0}^{n}(x,y)=(0,0)$. Für $\tau \in \{1,2,3\}$ muss wegen $0_{4}.\!\sigma {\overline {3}}=0_{4}.\!\tau {\overline {0}}$ (mit $\sigma$ als der Ziffer mit dem Wert $\tau -1$) gelten:       $T_{\sigma }\circ \lim _{n\to \infty }T_{3}^{n}(1,0)=T_{\sigma }(1,0)=T_{\tau }(0,0)$, damit $h(0_{4}.\!\sigma {\overline {3}})=h(0_{4}.\!\tau {\overline {0}})$ sein kann. Zunächst ist ${\bigl (}T_{3}^{n}({\mathcal {Q}}){\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }$ wegen $T_{3}({\mathcal {Q}})=T_{3}({\mathcal {I}}^{2})={\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )}+({\mathcal {I}}/2)^{2}$ eine 2D-Intervallschachtelung mit dem für alle $(x,y)\in {\mathcal {Q}}$ existierenden Limes $\textstyle \lim _{n\to \infty }T_{3}^{n}(x,y)=(1,0)$. Schließlich ist $T_{0}\circ (1,0)={\bigl (}0,{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$ $=T_{1}(0,0)$ , $T_{1}\circ (1,0)={\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$ $=T_{2}(0,0)$ und $T_{2}\circ (1,0)={\bigl (}1,{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$ $=T_{3}(0,0)$. Zu Eigsch. 2:   $h$ ist surjektiv. Da bei jeder Iterationsstufe aus jedem Teilquadrat genau vier kleinere Teilquadrate gemacht werden, überdecken die Teilquadrate einer Iterationsstufe immer das ganze Ausgangsquadrat. Das Teilquadrat wird im Limes zum Kurvenpunkt. Somit füllt die Menge der Kurvenpunkte das ganze Ausgangsquadrat aus. Etwas ausführlicher: Zu einem Punkt $(x,y)\in {\mathcal {Q}}$ gibt es zwei 1D-Intervallschachtelungen $x_{n}:=0_{2}.\!\xi _{1}\xi _{2}\dotso \xi _{n}\to x$ und $y_{n}:=0_{2}.\!\eta _{1}\eta _{2}\dotso \eta _{n}\to y$. Für die Hilbert-Indizes $t_{n}:={\hat {k}}_{n}(x_{n},y_{n})$   gilt   ${\hat {h}}_{n}(t_{n})=(x_{n},y_{n})$, so dass ${\big (}t_{n}{\bigr )}_{n\in \mathbb {N} }$ eine 1D-Intervallschachtelung für einen Parameter $\lim _{n\to \infty }t_{n}=:t$ ist. Für diesen gilt ${\begin{array}{ll}h(t)&=h(\lim _{n\to \infty }t_{n})\\&=\lim _{n\to \infty }h(t_{n})\\&=\lim _{n\to \infty }{\hat {h}}_{n}(t_{n})\\&=\lim _{n\to \infty }(x_{n},y_{n})\\&=(x,y).\end{array}}$ Zu Eigsch. 3:   Dennoch ist $h$ nicht injektiv. ($h$ kann als surjektive und stetige (s. u.) Funktion von 1D nach 2D nach dem Satz von der Invarianz der Dimension nicht injektiv sein.) Die oben gebildeten zwei 1D-Intervallschachtelungen sind genau dann mehrdeutig, wenn eine der beiden Koordinaten in $E_{2}=\mathbb {N} _{0}2^{-\mathbb {N} _{0}}\,\cap \;]0,1[$ liegt. Beispielsweise ist $h({\tfrac {1}{12}})=h({\tfrac {11}{12}})=(0,{\tfrac {1}{2}})$ (Doppelpunkt), $h({\tfrac {1}{2}})=h({\tfrac {1}{6}})=h({\tfrac {5}{6}})=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ (Tripelpunkt), $h({\tfrac {1}{24}})=h({\tfrac {1}{8}})=h({\tfrac {5}{24}})=({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}})$ (Tripelpunkt), und $h({\tfrac {5}{48}})=h({\tfrac {7}{48}})=h({\tfrac {41}{48}})=h({\tfrac {43}{48}})=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}})$ (Quadrupelpunkt) Jedes Teilquadrat enthält einen Tripel- und einen Quadrupelpunkt und damit abzählbar unendlich viele. Die Menge der Doppelpunkte ist überabzählbar. Zu einem Punkt $(x,y)\in {\mathcal {Q}}$ gibt es maximal vier verschiedene Parameterwerte $t\in {\mathcal {I}}$ mit $h(t)=(x,y)$. Zu Bildpunkten $(x,y)\in F_{2}:=({\mathcal {I}}\setminus E_{2})^{2}={\mathcal {Q}}\setminus {\bigl (}(E_{2}\times {\mathcal {I}})\cup ({\mathcal {I}}\times E_{2}){\bigr )}$ gibt es nur ein Urbild. Zu Eigsch. 4:   $h$ ist stetig. $h$ ist sogar Hölder-stetig (was die gleichmäßige Stetigkeit einschließt), und zwar zum Exponenten $d^{-1}$ mit $d$ als der Dimension des Zielraums $\mathbb {R} ^{d}$. $h$ bildet zwei benachbarte Intervalle stets auf zwei benachbarte Quadrate (mit gemeinsamer Seite) ab. Und da alle Quadrate späterer Iterationen den früheren treu bleiben (s. Abb. 4), folgt die gleichmäßige Stetigkeit. Zu Eigsch. 5:   $h{\bigl (}{\mathcal {I}}_{3\cdot 4^{n}}{\bigr )}={\mathcal {I}}_{2^{n}}\times {\mathcal {I}}_{2^{n}}$. Die Drittelwerte von Ganzzahlen haben in ihrer 4-adischen Darstellung 04.0-, 04.1- oder 04.2-Enden. Durch den Algorithmus $h(t)$ werden daraus 02.0- oder 02.1-Enden, also ganze Zahlen. Die Division durch exakte Zweierpotenzen ändert an den periodischen Enden der Darstellungen nichts. Zu Eigsch. 6:   $h(\lfloor 4^{n}t\rfloor /4^{n})=h_{n}(t)$. Ist $t=0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso$, dann ist $t_{n}:=\lfloor 4^{n}t\rfloor /4^{n}=0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso \tau _{n}$ ein abbrechender 4-adischer Bruch. Folglich sind auch die Koordinaten $h_{n}(t)=h_{n}(t_{n})={\bigl (}x_{n}(t_{n}),y_{n}(t_{n}){\bigr )}$ zwei abbrechende 2-adische Brüche. Nimmt man für $\lfloor 4^{n}t\rfloor /4^{n}=0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso \tau _{n}{\overline {0}}$ die nicht-abbrechende 4-adische Darstellung mit 0-Ende, dann werden gemäß Abb. 7 bei den Koordinaten auch nur Nullen angehängt, da die Ausrichtungen zwischen $\mathbf {A}$ und $\mathbf {D}$ alternieren und bei beiden Ausrichtungen aus der Ziffer $\tau =0$ die Koordinatenziffern $(\xi ,\eta )=(0,0)$ resultieren. Damit ist $h(t_{n})=\lim _{\nu \to \infty }h_{\nu }(t_{n})=h_{n}(t_{n})=h_{n}(t).$ Zu Eigsch. 7:   $x(1-t)=1-x(t)$   und   $y(1-t)=y(t)$. Schon für alle $n\in \mathbb {N} ,t\in {\mathcal {I}}$ gilt aus Symmetriegründen ${\dot {x}}_{n}(1-t)=1-{\dot {x}}_{n}(t)$; genauso ${\dot {y}}_{n}(1-t)={\dot {y}}_{n}(t)$. (S. a. den Beweis für denselben Sachverhalt im Abschnitt #Explizite Rekursionsformel.) Die Eigsch. 8:   $h{\Bigl (}{\frac {t}{4}}{\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {y}{2}},{\frac {x}{2}}{\Bigr )}$ ist eine direkte Folge der Transformation $T_{0}$. Iteriert ergibt sich $h{\Bigl (}{\frac {t}{16}}{\Bigr )}={\frac {h(t)}{4}}$. Zu Eigsch. 9:   $h({\mathcal {I}}\cap \mathbb {Q} )\subset \mathbb {Q} ^{2}$. Der Pseudocode t2xyQ nimmt den ganzzahligen Zähler und Nenner tn,td eines rationalen Parameters $t=$tn/td mit 0 ≤ tn ≤ td und produziert die ganzzahligen Zähler und Nenner xn,xd, yn,yd der 2 Koordinaten $(x,y)=$(xn/xd,yn/yd)$:=h($tn/td$)$. Er ist eine Erweiterung des Pseudocodes b_adic im Artikel Stellenwertsystem – in der folgenden Hinsicht, dass abhängig vom Rest tn nicht nur die Ziffern des Parameters $t=:0_{4}.\!\tau _{1}\tau _{2}\dotso$, sondern aus diesen und der Ausrichtung a sofort die 2-adischen Ziffern der Koordinaten $x=:0_{2}.\!\xi _{1}\xi _{2}\dotso$ und $y=:0_{2}.\!\eta _{1}\eta _{2}\dotso$ gebildet werden. (Die letzteren beiden Darstellungen werden am Ende wieder in Brüche umgeformt.) Die Wiederkehr einer Konstellation (a,tn) wird mittels des assoziativen Datenfeldes occurs festgestellt. Die Datenfelder X, Y und A stehen für die obigen Matrizen $X,Y$ und $A$. Der Doppelstern ** ist das Zeichen für Potenzierung. function t2xyQ(tn,td) begin // 0 ≤ tn ≤ td (> 0) if tn = td then return (1,1, 0,1); end if // Ab hier ist stets 0 ≤ tn < td. pos = 0; xp = 0; yp = 0; a = 0; // initiale Ausrichtung key = a+tn*4; // die Konstellation (a,tn) als Schlüssel while not defined(occurs[key]) do occurs[key] = pos; // die Nummer der Stelle mit (a,tn) ti = floor(tn*4/td); // Quaternärziffer ti: 0 ≤ ti ≤ 3 tn = tn*4 − ti*td; // 0 ≤ tn < td xp = xp*2 + X[a,ti]; // obige Matrix X yp = yp*2 + Y[a,ti]; // obige Matrix Y a = A[a,ti]; // obige Matrix A key = a+tn*4; pos += 1; end while pl = pos−occurs[key]; // Vielfaches der beiden 2-adischen // Periodenlängen von x und y pot = 2**pl; per = pot−1; xd = per * 2**(pos−pl); // Nenner von x und y xn = xp div pot; // Vorperiode von x xp = xp−xn*pot; // Periode von x xn = xn*per+xp; // Zähler von x yn = yp div pot; // Vorperiode von y yp = yp−yn*pot; // Periode von y yn = yn*per+yp; // Zähler von y return (xn,xd, yn,xd); end function

Einige Zahlenbeispiele

Parameter $t$

$0$

${\tfrac {1}{3}}$

${\tfrac {2}{3}}$

$1$

${\tfrac {2}{5}}$

${\tfrac {1}{4}}$

${\tfrac {1}{5}}$

${\tfrac {1}{7}}$

${\tfrac {1}{9}}$

${\tfrac {1}{11}}$

${\tfrac {1}{13}}$

${\tfrac {1}{17}}$

${\tfrac {1}{19}}$

$h(t)$

$x(t)$

$0$

$0$

$1$

$1$

${\tfrac {1}{3}}$

$0$

${\tfrac {1}{5}}$

${\tfrac {26}{63}}$

${\tfrac {1}{3}}$

${\tfrac {14}{33}}$

${\tfrac {1}{3}}$

${\tfrac {1}{5}}$

${\tfrac {76}{511}}$

$y(t)$

$0$

$1$

$1$

$0$

$1$

${\tfrac {1}{2}}$

${\tfrac {2}{5}}$

${\tfrac {19}{63}}$

${\tfrac {2}{9}}$

${\tfrac {1}{11}}$

$0$

$0$

${\tfrac {55}{511}}$

Mehrfachpunkte

Parameter $t$

${\tfrac {1}{12}}$

${\tfrac {11}{12}}$

${\tfrac {1}{10}}$

${\tfrac {9}{10}}$

${\tfrac {3}{20}}$

${\tfrac {17}{20}}$

${\tfrac {9}{52}}$

${\tfrac {25}{52}}$

${\tfrac {1}{8}}$

${\tfrac {1}{24}}$

${\tfrac {5}{24}}$

${\tfrac {1}{2}}$

${\tfrac {1}{6}}$

${\tfrac {5}{6}}$

$$