Hilbert-Samuel-Polynom

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Das Hilbert-Samuel-Polynom ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der Kommutative Algebra und der algebraischen Geometrie. Es wird dort in der Dimensionstheorie und in der Berechnung der Schnittpunkte gebraucht. Während der Grad für die Dimensionstheorie wichtig ist, spielen die Koeffizienten für die Schnitttheorie der algebraischen Geometrie eine Rolle. Benannt wurde es nach David Hilbert und Pierre Samuel.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei

ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:

  1. ist ein -Modul von endlicher Länge
  2. wird als Ring von und endlich vielen Elementen erzeugt.
  3. sei ein graduierter endlicher -Modul.

Dann wird die Funktion

Hilbert-Samuel-Funktion genannt

Unter den Voraussetzungen der Definition (und mit diesen Bezeichnungen) gilt folgender Satz:

  • Für große ist die Hilbert-Samuel-Funktion ein Polynom aus . Es ist und der höchste Koeffizient von ist positiv.

Das bedeutet, dass es ein : und ein gibt, sodass für alle gilt:

Dieses Polynom heißt das Hilbert-Samuel-Polynom

Dimensionstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal , und

der graduierte Ring zu diesem Ideal. Dann gilt für den Grad des Hilbertpolynoms dieses Ringes (betrachtet als Modul über sich selbst):

( ist die Krulldimension des Ringes)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]