Hilberts Satz 90

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Der mathematische Satz, den David Hilbert unter der Nummer 90 in seiner Theorie der algebraischen Zahlkörper aufführt und der seither diesen Namen trägt, macht eine Aussage über die Struktur bestimmter Körpererweiterungen.

Ursprüngliche Fassung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine zyklische Galoiserweiterung und ein Erzeuger der zugehörigen Galoisgruppe. Dann ist jedes mit Norm von der Form

mit einem geeigneten .

Galoiskohomologische Fassung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist ein Körper, eine galoissche Körpererweiterung und . Dann folgt für die Galoiskohomologie:

Algebraisch-geometrische Fassung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Schema. Dann ist

Anders ausgedrückt: Jedes étale-lokal triviale Geradenbündel ist bereits ein Zariski-Geradenbündel.

Hilbert 90 für motivische Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ursprüngliche Fassung verallgemeinert sich in der motivischen Kohomologie zur Exaktheit von für zyklische Galoisüberlagerungen mit Erzeuger Sigma. Für das Spektrum eines Körpers erhält man die ursprüngliche Fassung zurück.