Hilbertsche Modulfläche

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In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflächen bestimmte komplexe algebraische Flächen, die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhält.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein total-reeller quadratischer Zahlkörper, also für eine quadratfreie natürliche Zahl .

Sei der Ganzheitsring von , also mit falls kongruent 2 oder 3 mod 4 und falls kongruent 1 mod 4.

Seien die Einbettungen von , also

für alle .

Die Abbildungen definieren Einbettungen .

Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von unter der Einbettung

.

Die Gruppe SL(2,R) wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen. Mittels der Einbettung nach wirkt dann auf , dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann heißt der Quotientenraum Hilbertsche Modulfläche und Hilbertsche Modulgruppe. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen.

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe torsionsfrei ist, dann ist die Hlbertsche Modulfläche ein lokal symmetrischer Raum, andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche Singularitäten.

Algebraische Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Hirzebruch-Zagier.[1]

Zahlentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers . Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulfläche gleich der Klassenzahl von .[2] Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist , wobei die Dedekindsche Zeta-Funktion des Körpers bezeichnet.[3]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hirzebruch-Zagier: Classification of Hilbert modular surfaces (PDF; 1,4 MB)
  2. Kapitel III.2.7. in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2
  3. Gerard van der Geer: Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 16. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17601-2