Notwendige und hinreichende Bedingung

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Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sind Begriffe aus der mathematischen Beweisführung, welche Bedingungen in zwei verschiedene Typen unterteilt. Die unterschiedlichen Beziehungen zwischen Bedingendem und Bedingtem werden in der Logik, vor allem in der Aussagenlogik, behandelt.

Hinreichende Bedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Heu zu fressen, stillt den Hunger des Hamsters hinreichend. Doch ist Heu für seine Sättigung nicht notwendig, denn die kann auch anders erreicht werden (etwa durch Karotten).

Die Gültigkeit einer hinreichenden Bedingung sorgt zwangsläufig für die Gültigkeit der Konsequenz . Dieser Zusammenhang wird durch die symbolische Schreibweise ausgedrückt, sprich „die Bedingung impliziert die Konsequenz “ oder „aus folgt “. Der Pfeil, der den Zusammenhang symbolisiert, steht für die Schlussfolgerung (Implikation). Es kann andere hinreichende Bedingungen geben, die ebenfalls die Gültigkeit der Aussage nach sich ziehen.

Aussagenlogisch betrachtet: Hat eine Aussage mehrere hinreichende Bedingungen , d. h. gelten die Subjunktionen , so genügt es, dass mindestens eine erfüllt ist (logische Disjunktion), damit gilt: . Für eine hinreichende Bedingung gilt mit anderen Worten: Durch sie geht es (daher auch der Fachausdruck Conditio per quam).

Notwendige Bedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gemahlene Bohnen sind eine notwendige Bedingung, um Kaffee zu kochen – ohne sie geht es nicht. Aber sie sind nicht hinreichend, da man zum Kochen auch Wasser benötigt.

Die Aussage ist eine notwendige Bedingung für die Aussage , wenn sie zwingend wahr (erfüllt) sein muss, wenn wahr ist. Der Zusammenhang wird durch die symbolische Schreibweise ausgedrückt, sprich „nicht impliziert nicht “ oder „wenn nicht wahr ist, dann ist auch nicht wahr“. Es kommt also nicht vor, dass erfüllt ist, ohne dass gilt. Somit kann die Notwendigkeit der Bedingung auch durch die (hinreichende) Implikation ausgedrückt werden. Gibt es mehrere notwendige Bedingungen für eine Aussage , d. h. gilt , so müssen alle gleichzeitig erfüllt sein, wenn erfüllt ist. Also gilt dann auch (logische Konjunktion).

Gibt es verschiedene, voneinander logisch unabhängige, notwendige Bedingungen, sodass für alle Paare von Bedingungen mit gilt, so kann keine für sich allein hinreichend sein, da dies dem widerspräche, dass die anderen notwendig sind. Eine notwendige Bedingung ist also unersetzlich für das Eintreten eines Ereignisses. Wenn sie aber nicht zugleich hinreichend ist, genügt sie allein nicht, damit das Ereignis eintritt. Mit anderen Worten: Ohne sie geht es nicht (daher auch der Ausdruck lateinisch condicio sine qua non, siehe auch Conditio-sine-qua-non-Formel), für das Eintreten von ist aber eventuell noch etwas anderes nötig.

Äquivalente Aussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls eine Aussage sowohl eine hinreichende als auch eine notwendige Bedingung für die Aussage ist, d. h. impliziert und impliziert , werden die Aussagen und äquivalent genannt. Aussagenlogisch ist dafür das Kürzel iffengl. if and only if üblich; deutschsprachige Entsprechungen sind g. d. w., abgekürzt für genau dann, wenn und dann und nur dann. Dass die Notwendigkeit von auch durch die Implikation ausgedrückt werden kann, erklärt die symbolische Darstellung für die Äquivalenz von und .

INUS-Bedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die INUS-Bedingung des australischen Philosophen John Leslie Mackie stellt ein geschachteltes Konzept dar: Gemeint ist ein nicht hinreichender, aber notwendiger Teil einer nicht notwendigen, aber hinreichenden Bedingung. Dieses Konzept soll insbesondere der Erkenntnis gerecht werden, dass selten äquivalente Bedingungen für empirische Ereignisse ausgemacht werden können, selbst unter ceteris-paribus-Klauseln.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wiktionary: notwendig – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: hinreichend – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen