Holomorphiegebiet

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Das Holomorphiegebiet wird in der mehrdimensionalen Funktionentheorie betrachtet. Auf jedem Holomorphiegebiet gibt es eine holomorphe Funktion, welche nicht über das Gebiet fortgesetzt werden kann.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mengen in der Definition

Eine offene Menge heißt Holomorphiegebiet, falls es keine offenen Teilmengen und in gibt mit den folgenden Eigenschaften:

  1. .
  2. ist zusammenhängend und nicht in enthalten.
  3. Für jede holomorphe Funktion existiert eine (notwendigerweise eindeutige) holomorphe Funktion , so in gilt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Einfache Beispiele sind der , die offene Kugel oder der Polyzylinder.
  • Jede konvexe Menge ist ein Holomorphiegebiet.
  • Ein Gebiet ist genau dann ein Holomorphiegebiet, wenn es pseudokonvex ist.
  • Im Fall ist jede offene Teilmenge ein Holomorphiegebiet. Wähle eine holomorphe Funktion nur mit Nullstellen auf allen Randpunkten von , so kann man nicht über hinaus fortsetzen. Das Lemma von Hartogs zeigt, dass eine analoge Aussage für falsch ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co., Amsterdam; American Elsevier Pub. Co., New York 1973, ISBN 9780444105233.